svd奇异值分解应用

### SVD在数据处理中的应用

SVD（奇异值分解）是一种强大的线性代数工具，在多个领域有着广泛的应用。通过将矩阵分解成三个更简单的矩阵相乘的形式，可以有效地提取原始数据的主要特征并降低维度。

#### 图像压缩
图像文件通常占用大量存储空间。利用SVD技术能够实现高效的图像压缩。具体来说，对于给定的一幅灰度图M×N大小的像素阵列A，对其进行SVD得到UΣV^T形式之后，仅保留前k个最大的奇异值及其对应的左、右奇异向量来近似重构原图片[^1]。

import numpy as np
from scipy import linalg

def compress_image(A, k):
    U, s, Vt = linalg.svd(A)
    compressed_A = np.dot(U[:, :k], np.dot(np.diag(s[:k]), Vt[:k, :]))
    return compressed_A

#### 推荐系统构建
推荐算法旨在预测用户可能感兴趣的项目列表。基于协同过滤的方法之一就是采用低秩矩阵逼近模型——即假设评分矩阵存在潜在因子结构，并试图找到这些隐藏变量之间的关系。此时SVD便成为了一种理想的选择用于求解该类问题下的最优参数估计[^2]。

#### 文本挖掘分析
当面对大规模文档集合时，如何快速检索相似文章成为一个挑战性的课题。LSI(Latent Semantic Indexing)作为TF-IDF权重方案的一种改进版本引入了SVD机制以克服传统方法存在的局限性。通过对词项-文档关联表执行SVD操作后选取部分重要成分表示每篇论文的主题分布情况从而达到降维的目的；与此同时还能有效缓解同义词现象带来的困扰[^3]。