svd奇异值分解使用

### 使用SVD（奇异值分解）在编程中实现

#### SVD理论基础
奇异值分解(Singular Value Decomposition, SVD)是一种重要的线性代数工具，能够将任意矩阵\( A \in R^{m\times n} \)分解成三个矩阵的乘积形式\[ A=USV^\top\]。其中 \( U \) 是一个 \( m \times m \) 的正交矩阵；\( V \) 是一个 \( n \times n \) 的正交矩阵；而 \( S \) 则是一个只含非负实数值对角元的 \( m \times n \) 对角矩阵，这些对角元素即为原始矩阵的奇异值[^1]。

#### Python 实现SVD
Python提供了多种库用于执行SVD操作，最常用的是`scipy.linalg.svd()`函数以及`numpy.linalg.svd()`方法：

import numpy as np
from scipy import linalg

# 创建测试矩阵
matrix = np.array([[2, 5], [1, 7]])

# 执行SVD分解
u_matrix, singular_values, vh_matrix = linalg.svd(matrix)

print("左奇异矩阵U:\n", u_matrix)
print("\n奇异值σ:", singular_values)
print("\n右奇异矩阵VT:\n", vh_matrix)

上述代码展示了如何利用SciPy库来进行标准的SVD计算过程，并打印出了相应的结果[^5]。

#### 应用实例——图像压缩
考虑到大多数情况下，较大的奇异值携带了更多的信息量，在实际应用比如图像处理领域内，可以选择保留前K个最大奇异值得到近似的低秩表示。下面给出一段简单的例子说明这一概念的应用场景之一—基于SVD的灰度图片压缩技术:

import matplotlib.pyplot as plt
from PIL import Image
import numpy as np


def compress_image(image_path, k):
    img = Image.open(image_path).convert('L')  # 转换成灰度图
    array_img = np.asarray(img, dtype=float)/255
    
    # 进行svd分解
    U, s, VT = np.linalg.svd(array_img, full_matrices=False)
    
    approximated_array = (U[:, :k].dot(np.diag(s[:k])).dot(VT[:k, :])) * 255
    
    compressed_img = Image.fromarray(approximated_array.astype('uint8'))
    
    return compressed_img


original_img = 'example.png'
compressed_img_k_50 = compress_image(original_img, 50)

plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.subplot(1, 2, 1), plt.imshow(Image.open(original_img)), plt.title('Original')
plt.axis('off')

plt.subplot(1, 2, 2), plt.imshow(compressed_img_k_50), plt.title(f'Compressed with top {50}')
plt.axis('off');

这段脚本读取了一张名为`example.png`的图片文件作为输入源数据，通过调整参数`k`控制所选取的最大奇异值数量来达到不同程度上的视觉效果优化目的。