生成样本量为 1000、服从正态混合分布p₁N(0,1）+(1-p₁)N(3,1）的样本，其中p₁=0.5．同时绘制样本密度直方图和分布密度曲线图比较随机数的产生效果。 提示：可采用复合抽样法，仿照例 1.1.11 去做。 解答：请写出 R代码，输出;及必要的文字分析。

在R语言中，我们可以使用`mixture`包来模拟这种正态混合分布，并利用`ggplot2`库来创建样本密度直方图和分布密度曲线图。以下是一个示例R代码：

# 首先需要安装并加载所需的包
if (!require("mixture")) install.packages("mixture")
library(mixture)
library(ggplot2)

# 定义混合概率和分布参数
p1 <- 0.5
mean_1 <- 0
sd_1 <- 1
mean_2 <- 3
sd_2 <- 1

# 创建一个函数来生成单个样本
generate_sample <- function() {
  if (runif(1) < p1) rnorm(1, mean = mean_1, sd = sd_1) else rnorm(1, mean = mean_2, sd = sd_2)
}

# 生成1000个样本
samples <- replicate(1000, generate_sample())

# 创建样本密度直方图
hist(samples, breaks = "fd", main = "Sample Density Histogram", xlab = "Values", ylab = "Frequency")

# 绘制分布密度曲线图
dens <- density(samples, bw = "SJ") # 使用Scott's rule for bandwidth
df <- data.frame(x = dens$x, y = dens$y)
ggplot(df, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "blue", size = 1) +
  geom_density(fill = "lightblue", alpha = 0.5) +
  labs(title = "Density Curve of the Mixture Distribution", x = "Values", y = "Density")

# 文字分析
cat("The generated samples follow a mixture distribution with a proportion of ", p1, " being normally distributed around ", mean_1, " and the rest around ", mean_2, ". The histogram shows the discrete frequency distribution while the density plot demonstrates the smooth curve representing the combined probability density.")

这段代码首先定义了混合分布的概率和参数，然后创建了一个函数用于生成单个样本。接着通过循环生成1000个样本，分别计算它们的密度直方图和分布密度曲线。最后，它会分析并描述生成的样本总体特征。