已知两城镇, AB的坐标分别为 A(-11,13) B(15,16) 湖泊的圆心位于坐标原点 (0,0) O ，半径为10公里。现要修建一条绕过湖泊下方连结两城镇 的公路，问应如何选择公路的路线，使公路最短，并求出公路上的关键转折点。用数学建模的方法

要使用数学建模的方法来选择公路的最短路线，并求出公路上的关键转折点，我们可以按照以下步骤进行：

1. 定义变量：设城镇 A 的坐标为 (x1, y1) = (-11, 13)，城镇 B 的坐标为 (x2, y2) = (15, 16)。

2. 确定目标函数：我们的目标是最小化公路的长度。设公路的长度为 L。

3. 确定约束条件：公路必须绕过湖泊下方，即不能穿过湖泊圆形区域。

4. 建立数学模型：我们可以将问题转化为求解两个圆与一条直线的交点。

a. 圆心为原点 O(0,0)，半径为10公里的湖泊圆的方程为 x^2 + y^2 = 100。

b. 直线的方程可以通过城镇 A 和 B 的坐标计算得出。假设直线的方程为 y = mx + b，其中 m 是斜率，b 是截距。

c. 求解湖泊圆和直线的交点，得到交点坐标(x_intercept, y_intercept)。

5. 计算最短路线长度：将交点作为关键转折点，计算城镇 A 到交点的距离和交点到城镇 B 的距离，再求和得到最短路线的长度 L。

6. 求解最优解：通过优化算法（如求导、遗传算法等）求解目标函数最小值，确定最优的斜率和截距。

7. 得出结果：根据所求得的最优解，确定最短路径的路线和关键转折点的坐标。

请注意，以上步骤仅是一种数学建模的方法，具体的计算过程可能需要更多细节和计算方案。