pythonFR共轭梯度法

Python中的共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）是一种用于求解线性方程组的迭代算法。它通过迭代的方式逐步逼近线性方程组的解，并且在每一步都保证了迭代方向的共轭性，从而提高了求解效率。

在Python中，可以使用SciPy库中的`scipy.sparse.linalg.cg`函数来实现共轭梯度法。这个函数可以用于求解稀疏矩阵形式的线性方程组。

下面是使用共轭梯度法求解线性方程组的示例代码：

import numpy as np
from scipy.sparse.linalg import cg

# 定义系数矩阵A和右侧向量b
A = np.array([[4, 1], [1, 3]])
b = np.array([1, 2])

# 使用共轭梯度法求解线性方程组
x, info = cg(A, b)

# 打印求解结果
print("解x:", x)
print("迭代次数:", info['iter'])
print("是否收敛:", info['converged'])

上述代码中，首先定义了系数矩阵A和右侧向量b，然后使用`cg`函数求解线性方程组。函数返回的结果包括解x、迭代次数和是否收敛等信息。

相关问题

FR共轭梯度法、PRP共轭梯度法、DY共轭梯度法、HS共轭梯度法、DM共轭梯度法判断条件分别是什么

### 不同共轭梯度法的收敛性条件和适用场景

#### FR共轭梯度法
FR共轭梯度法是最常见的共轭梯度算法之一。其β参数计算方式为：

\[ \beta_k^{FR} = \frac{\|g_{k+1}\|^2}{\|g_k\|^2} \]

该方法具有全局收敛性质，在强Wolfe线搜索条件下能够保证对于一般非凸函数的有效性[^1]。

def beta_FR(g_new, g_old):
    return np.linalg.norm(g_new)**2 / np.linalg.norm(g_old)**2

#### PRP共轭梯度法
PRP共轭梯度法则通过引入当前迭代点处梯度变化量来改进搜索方向的选择策略，具体表达式如下所示：

\[ \beta_k^{PRP} = \frac{g_{k+1}^T (g_{k+1}-g_k)}{\|g_k\|^2} \]

此版本通常表现出更好的数值性能，并且当目标函数接近二次型时效果更佳[^2]。

def beta_PRP(g_new, g_old):
    numerator = np.dot(g_new.T, (g_new - g_old))
    denominator = np.linalg.norm(g_old)**2
    return numerator / denominator

#### DY共轭梯度法
DY共轭梯度法定义了另一种形式的β系数更新规则，旨在克服某些情况下可能出现的方向退化现象：

\[ \beta_k^{DY} = \frac{\|g_{k+1}\|^2}{y_k^Td_k}, y_k=g_{k+1}-g_k \]

这种方法可以有效防止步长过小而导致的效率低下问题[^3]。

def beta_DY(g_new, g_old, d):
    y = g_new - g_old
    numerator = np.linalg.norm(g_new)**2
    denominator = np.dot(y.T, d)
    return numerator / denominator

#### HS共轭梯度法
HS共轭梯度法采用了一种混合式的β值设定方案，综合考虑了前后两次梯度差以及前一步搜索方向的影响因素：

\[ \beta_k^{HS} = \frac{(g_{k+1}-g_k)^Td_k}{d_k^Ty_k} \]

这种组合使得HS算法能够在多种情形下保持良好的鲁棒性和快速收敛特性[^4]。

def beta_HS(g_new, g_old, d):
    y = g_new - g_old
    numerator = np.dot((g_new - g_old).T, d)
    denominator = np.dot(d.T, y)
    return numerator / denominator

#### DM共轭梯度法
DM共轭梯度法则是基于矩阵理论构建的一种新型变体，特别适用于处理大规模稀疏线性方程组求解等问题情境下的优化需求。它利用预条件技术改善原有CG方法中的不足之处，从而提高了整体运算速度与稳定性[^5]。

def beta_DM(g_new, g_old, M):  # 假设M是预条件矩阵
    z = solve(M, g_new)        # 解决线性系统Mz = g_new得到z
    w = solve(M, g_old)        # 同样解决Mw = g_old获得w
    return np.dot(z.T, g_new) / np.dot(w.T, g_old)