共轭梯度法与数值优化算法C++实现

"该资源包含一个C++程序，实现了共轭梯度法，同时还提供了黄金分割法和进退搜索法的实现。程序中定义了计算目标函数值的函数`f()`，以及进退搜索法的`sb()`函数，用于确定搜索区间。此外，还展示了黄金分割法的`hjfg()`函数，用于寻找函数的最小值点。" 共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代方法，特别适用于大型稀疏对称正定矩阵问题。在给定的C++程序中，虽然没有直接提供共轭梯度法的完整实现，但我们可以根据共轭梯度法的基本原理来理解它的工作方式。 共轭梯度法的主要步骤包括： 1. 初始化：选择一个初始向量x_0，通常选择零向量或随机向量。 2. 计算残差r_k = b - Ax_k，其中A是系数矩阵，b是常数项，x_k是当前迭代解。 3. 如果r_k接近于零，即||r_k|| < ε（ε是预设的收敛阈值），则认为已找到近似解，停止迭代；否则继续下一步。 4. 找到与r_k共轭的方向向量d_k，通常通过d_k = r_k - β_k * d_{k-1}，其中β_k是根据前一步的向量计算出的系数。 5. 沿d_k方向进行步长α_k的搜索，更新解x_{k+1} = x_k + α_k * d_k。 6. 更新残差r_{k+1} = r_k - α_k * A * d_k。 7. 返回到第4步，使用新的残差和方向向量进行下一次迭代。 在这个程序中，`f()`函数用于计算目标函数的值，这是共轭梯度法中的关键部分，因为我们需要知道每个迭代方向上的函数变化情况。进退搜索法的`sb()`函数则用于寻找一个合适的步长，这在实际的优化算法中非常重要，因为它决定了每次迭代的进度。黄金分割法是另一种数值优化方法，它利用黄金分割比例来逐步缩小搜索范围，找到函数的最小值点。 程序中的黄金分割法`hjfg()`函数首先调用进退搜索法确定初始搜索区间[a, b]，然后根据黄金分割比例不断缩小区间，直到满足精度要求，找到最小值点。 这个程序集成了几种数值优化方法，可以作为学习和应用这些算法的基础。在实际使用时，可能需要将这些方法整合到更完整的求解框架中，比如处理线性系统或者优化问题的求解器。