无刷直流电机FOC数学模型

### 无刷直流电机 FOC 数学模型解释

#### 背景介绍
无刷直流电机（BLDC）因其高效能、长寿命以及低噪音特性，在多个行业中得到广泛应用[^3]。为了实现更加精确和平滑的速度控制，磁场定向控制（Field-Oriented Control, FOC）成为了一种重要的控制策略。

#### FOC 的基本概念
FOC 是一种先进的电机控制算法，通过坐标变换将三相静止坐标系下的电流转换到两相旋转坐标系下处理，从而简化了控制系统的设计并提高了动态响应速度和稳态精度。具体来说，就是把复杂的多变量耦合系统转化为易于管理的单输入单输出形式。

#### 数学建模过程

##### 步骤一：从三相 ABC 到 αβ 静止坐标系的变化
设 iA(t), iB(t)，iC(t) 表示流入 BLDC 定子绕组 A、B 和 C 相中的瞬时电流，则可以通过克拉克变换(Clark Transformation)将其映射至α-β平面：

\[ \begin{bmatrix} I_\alpha \\ I_\beta \end{bmatrix}=T_{\text {Clark }} * \begin{bmatrix}I_A\\I_B\\I_C\end{bmatrix}\]

其中 \( T_{\mathrm{Clark}}=\frac{\sqrt{2 / 3}}{\left[\begin{array}{ccc}
1 & -0.5 & -0.5 \\
0 & \sqrt{3}/2 & -\sqrt{3}/2
\end{array}\right]} \)

此操作消除了零序分量的影响，并使得后续计算更为简便。

##### 步骤二：由 αβ 至 dq 动态坐标系转变
进一步利用帕克变换(Park's transformation)，可以完成从固定参考框架(即上述提到的α-β轴)向随时间变化而转动的新坐标体系(d-q轴)迁移:

\[ \begin{aligned}
&V_d=V_\alpha \cos (\theta)-V_\beta \sin (\theta) \\
&V_q=V_\alpha \sin (\theta)+V_\beta \cos (\theta)
\end{aligned} \]

这里 θ 指的是转子位置角；\( V_d,V_q\) 分别代表直轴电压与交轴电压。

##### 步骤三：建立 d-q 平面内的状态方程
基于以上两个阶段所获得的数据，可构建如下所示的状态空间表达式来描述整个系统的运作情况：

\[ J \cdot \dot{\omega}_m=p_n(T_e-T_L)\]
\[ L_d \cdot \dot{i}_d=-R_s \cdot i_d+\omega_r \cdot L_q \cdot i_q+v_d \]
\[ L_q \cdot \dot{i}_q=-R_s \cdot i_q-\omega_r \cdot L_d \cdot i_d+v_q+E_b \]

此处，
- ω_m :机械角频率；
- p_n ：极对数;
- Te :电磁转矩 ;
- TL :负载转矩 ;
- Rs :定子电阻 ;
- id ,iq :分别对应于 d,q 方向上流过的电流强度 ;
- vd,vq :施加给各方向的有效电压 ;
- Eb :反电动势 .

这些公式共同构成了完整的 FOC 数学模型基础架构。

% MATLAB/Simulink 中用于模拟 FOC 控制器的部分代码片段
function dxdt = fcn(t,x,u)
    % 参数定义省略...
    
    omega_r = u; % 输入为实际转速
    
    % 计算电磁转矩
    Tem = (3/2)*p*(Ld-Lq)*id*x(iq);
    
    % 更新微分方程式
    dxdt(id) = (-Rs*Ld + w*Li*q)/Ld^2 + v_d/Ld;
    dxdt(iq) = (-Rs*iq - w*Ld*id + vb + eb)/Lq;
    ...
end