蓝桥杯最长不下降子序列

关于蓝桥杯竞赛中最长不下降子序列的解法
最长不下降子序列问题是经典的动态规划问题之一，在蓝桥杯竞赛中有较多涉及。以下是针对该问题的具体解题思路和实现方法。
1. 动态规划的核心思想
对于最长不下降子序列（Longest Non-decreasing Subsequence, LNDS），可以通过定义一个数组 dp[] 来记录以每个位置结尾的最长不下降子序列长度。设输入序列为 arr[n]，则状态转移方程为：
[ dp[i] = \max(dp[j]) + 1 \quad (0 \leq j < i \text{ and } arr[j] \leq arr[i]) ]
其中 ( dp[i] ) 表示以第 (i) 个元素结尾的最长不下降子序列长度[^2]。
最终的结果即为整个数组中的最大值 ( \max(dp[]) )[^2]。

2. 时间复杂度分析
朴素的动态规划解决方案的时间复杂度为 (O(n^2))，因为需要两层嵌套循环来计算每一个 (dp[i]) 的值。然而，通过引入二分查找技术，可以将时间复杂度降低到 (O(n\log n))[^2]。
改进后的核心思想是维护一个单调递增的辅助数组 tail[]，并利用二分查找更新这个数组的内容。具体过程如下：

初始化 tail[0] = arr[0]；
对于后续的每个元素 (arr[i])，如果它大于当前 tail 数组的最大值，则将其追加至 tail 后面；否则，找到第一个比 (arr[i]) 大的位置，并替换掉那个位置上的值。

这种方法不仅能够高效解决最长不下降子序列问题，还适用于其他类似的变种问题。

3. 实现代码示例
下面是基于 C++ 和 Python 的两种实现方式：
C++ 实现
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

int computeLNDS(vector<int> &amp;arr){
vector<int> tail;
for(auto num : arr){
auto it = lower_bound(tail.begin(), tail.end(), num);
if(it == tail.end()) {
tail.push_back(num); // 如果找不到合适的插入点，则扩展尾部
}
else{
*it = num; // 替换已有的较大值
}
}
return tail.size(); // 返回结果为 tail 的大小
}

int main(){
int n;
cin >> n;
vector<int> arr(n);
for(int &amp;num : arr) cin >> num;

cout << computeLNDS(arr) << endl;
}
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Python 实现
from bisect import bisect_left

def compute_LNDS(arr):
tail = []
for num in arr:
idx = bisect_left(tail, num)
if idx == len(tail):
tail.append(num) # 扩展尾部
else:
tail[idx] = num # 替换已有较大的值
return len(tail)

if __name__ == "__main__":
n = int(input())
arr = list(map(int, input().split()))
print(compute_LNDS(arr))
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以上代码均采用了 (O(n\log n)) 的优化策略。

4. 进一步思考与优化建议
尽管上述方法已经非常高效，但在某些特殊场景下仍需注意以下几点：

当数据规模特别大时，应考虑内存占用以及 I/O 效率的影响。
若题目要求输出具体的子序列而非仅限长度，则需要额外保存路径信息以便回溯重建结果。