利用 MATLAB 完成分别运用二分法和试值法求解函数 f(x)=x²-2.45x在区间[1,3]内满足误差小于 0.05的根。

在MATLAB中，可以使用二分法和试值法（也称为“二分搜索法”或“折半查找法”）来求解给定函数在特定区间内的根。下面分别介绍这两种方法的MATLAB实现。

### 二分法求解根

二分法是一种迭代方法，它要求函数在区间端点取不同符号的值，即函数在区间两端的值一正一负。以下是使用二分法求解函数`f(x) = x^2 - 2.45x`在区间[1,3]内满足误差小于0.05的根的MATLAB代码：

function root = bisection(f, a, b, tol)
    if f(a) * f(b) > 0
        error('f(a) and f(b) must have opposite signs')
    end

    while (b-a)/2 > tol
        midpoint = (a + b) / 2;
        if f(midpoint) == 0
            break;
        elseif f(a) * f(midpoint) < 0
            b = midpoint;
        else
            a = midpoint;
        end
    end
    root = (a + b) / 2;
end

% 定义函数f(x)
f = @(x) x^2 - 2.45*x;

% 求解区间[1,3]内的根，误差小于0.05
root = bisection(f, 1, 3, 0.05);

### 试值法求解根

试值法与二分法类似，也是在函数两端取值符号不同的情况下工作。试值法的MATLAB代码与二分法类似，但通常需要一个额外的步骤来确保区间两端的值具有不同的符号。

function root = false_position(f, a, b, tol)
    while (b-a) > tol
        midpoint = (a*f(b) - b*f(a)) / (f(b) - f(a));
        if f(midpoint) == 0
            break;
        elseif f(a) * f(midpoint) < 0
            b = midpoint;
        else
            a = midpoint;
        end
    end
    root = (a + b) / 2;
end

% 使用false_position函数替换bisection函数即可求解
root = false_position(f, 1, 3, 0.05);

需要注意的是，上述代码示例中的`false_position`函数实际上是“试位法”（False Position Method）的实现，它与二分法有相似之处，但计算中点时使用了一种不同的方式，即根据函数在区间两端的值来估计根的位置。试位法通常比二分法更高效，尤其是在函数曲线在一个方向上弯曲更快的时候。