给定n个元素的栈，如何计算所有可能的合法出栈序列数量，并以代码形式实现？同时，请提供Catalan数的数学证明。

要计算给定n个元素的所有合法出栈序列数量，我们可以借助于组合数学中的Catalan数。Catalan数是一个非常重要的数学概念，它在很多组合问题中都有应用，包括栈的出栈序列问题。

参考资源链接：[出栈序列的算法研究与优化](https://wenku.csdn.net/doc/2p7edi5ixq?spm=1055.2569.3001.10343)

首先，Catalan数的数学定义为C(n) = (1/(n+1)) * (2n choose n)，即C(n)等于从2n个元素中选取n个元素的组合数除以(n+1)。根据这个定义，我们可以递归地计算出Catalan数序列。对于栈的出栈序列问题，当n个元素依次入栈后，合法出栈序列的数量就是第n个Catalan数，即C(n)。

下面是计算Catalan数并输出前n个Catalan数的Python代码实现：

def catalan_number(n):
    if n <= 1:
        return 1
    catalan = [0] * (n + 1)
    catalan[0], catalan[1] = 1, 1
    for i in range(2, n + 1):
        for j in range(i):
            catalan[i] += catalan[j] * catalan[i - j - 1]
    return catalan[n]

# 输出前n个Catalan数
n = 5  # 示例：计算前5个Catalan数
for i in range(n + 1):
    print(f

参考资源链接：[出栈序列的算法研究与优化](https://wenku.csdn.net/doc/2p7edi5ixq?spm=1055.2569.3001.10343)