最长公共子序列算法设计与分析

最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）算法是一种在计算机科学中用于找出两个或多个序列中最长共享部分的动态规划方法。它通常用于比较字符串、文本或者序列，尤其是在生物信息学领域中，如DNA和蛋白质序列比对。

设计思路：
1. **定义问题**：给定多个序列，找到它们共享的最长子序列。
2. **构建动态规划矩阵**：创建一个二维数组，其中每个元素 (i, j) 表示第一个序列的前 i 个字符与第二个序列的前 j 个字符的最长公共子序列长度。
3. **填充矩阵**：从左上角开始，比较当前字符，如果相同，LCS 长度加一；如果不相同，选择左上角和左/上元素中的较大值作为当前位置的LCS长度。
4. **回溯求解**：从矩阵右下角开始，按照动态规划过程逆推出最长子序列。
5. **优化**：使用滚动数组等技巧减少空间复杂度，原始问题需要 O(nm) 空间，滚动数组可以将空间复杂度降低到 O(min(n, m))。

分析：
- **时间复杂度**：算法的时间复杂度是 O(nm)，其中 n 和 m 分别是输入序列的长度。
- **空间复杂度**：原算法是 O(nm)，滚动数组优化后为 O(min(n, m))。
- **应用范围**：除了字符串比对，LCS也被用于数据压缩、版本控制等场景。
- **可扩展性**：可以处理任意数量的序列，只需增加行数或列数即可。