用matlab实现 1 基于施密特正交化方法的QR分解; 2 找例子说明它在某些情况下效果不好; 3 基于吉文斯变换或豪斯霍尔德变换的QR分解(二选一),并检验对2中的例子是否有好的效果
时间: 2024-09-10 10:01:44 浏览: 75
1. 在MATLAB中实现基于施密特正交化方法的QR分解,可以通过Gram-Schmidt过程来完成。以下是一个简单的例子:
```matlab
function [Q, R] = gram_schmidt(A)
[m, n] = size(A);
Q = zeros(m, n);
R = zeros(n, n);
for j = 1:n
v = A(:, j);
for i = 1:j-1
v = v - (Q(:, i)' * A(:, j)) * Q(:, i);
end
Q(:, j) = v / norm(v);
for i = j:n
R(i, j) = Q(:, i)' * A(:, j);
end
end
end
```
这个函数`gram_schmidt`接受一个矩阵`A`作为输入,并输出正交矩阵`Q`和上三角矩阵`R`。需要注意的是,MATLAB内置函数`qr`也能执行QR分解,但在学习算法细节时,手写Gram-Schmidt过程是一个很好的练习。
2. 施密特正交化方法在某些情况下可能会遇到数值稳定性问题。特别是当输入矩阵A的列向量之间高度相关或者接近线性相关时,Gram-Schmidt过程可能会放大舍入误差,导致结果矩阵Q失去正交性,R的对角线元素可能不再是准确的。例如,如果A的一个列向量是其它列向量的线性组合,那么Gram-Schmidt过程可能会产生一个非正交的Q矩阵。
3. 基于吉文斯变换(Householder Transform)的QR分解通常在数值稳定性方面比Gram-Schmidt过程更好。下面是一个简单的MATLAB实现:
```matlab
function [Q, R] = householder_qr(A)
[m, n] = size(A);
H = eye(m);
R = A;
for j = 1:n
x = R(j:m, j);
v = x;
v(1) = v(1) + sign(v(1)) * norm(x);
v = v / norm(v);
H_j = eye(m);
H_j(j:m, j:m) = eye(m) - 2 * v * v';
R = H_j * R;
if j < m
H = H * H_j;
end
end
Q = H';
end
```
这个函数`householder_qr`同样接受一个矩阵`A`作为输入,并输出正交矩阵`Q`和上三角矩阵`R`。为了检验这种方法是否能改善效果不好的情况,可以选择一个接近奇异或者列向量高度相关的矩阵作为例子,然后使用`householder_qr`函数进行QR分解,并检查结果的数值稳定性。
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