用matlab实现基于施密特正交化方法的QR分解；用matlab 找例子说明它在某些情况下效果不好； 用matlab说明基于吉文斯变换的QR分解并检验对上边例子是否有好的效果

在MATLAB中实现基于施密特正交化方法的QR分解可以通过Gram-Schmidt过程来完成，这个过程涉及到将一组线性无关的向量转换成一组正交向量，同时形成一个上三角矩阵R。QR分解是将矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=QR。

以下是一个简单的MATLAB例子，展示了如何进行Gram-Schmidt过程来实现QR分解：

A = [1 2 1; 2 3 2; 3 4 4];
[m,n] = size(A);
Q = zeros(m,n);
R = zeros(n,n);

for k = 1:n
    q = A(:,k);
    for i = 1:k-1
        q = q - (A(:,i)' * A(:,k)) / (A(:,i)' * A(:,i)) * A(:,i);
    end
    Q(:,k) = q / norm(q);
    for j = k:n
        R(k,j) = Q(:,k)' * A(:,j);
    end
end

disp(Q); % 显示正交矩阵Q
disp(R); % 显示上三角矩阵R

对于某些情况，如当矩阵A中的某些列是线性相关的，或者矩阵的列向量接近线性相关时，Gram-Schmidt过程可能会导致数值不稳定性，因为可能会出现除以非常小的数的情况，从而放大舍入误差。

对于这种情况，我们可以使用基于Householder变换或Givens旋转的QR分解方法，这些方法更加稳定。在MATLAB中，可以使用内置函数`qr`来进行这种稳定的QR分解。如果需要演示QR分解的效果，可以比较Gram-Schmidt过程和`qr`函数得到的R矩阵的条件数，条件数大的可能表明数值稳定性较差。

以下是使用MATLAB内置函数`qr`进行QR分解的例子：

A = [1 2 1; 2 3 2; 3 4 4];
[Q, R] = qr(A);

disp(Q); % 显示正交矩阵Q
disp(R); % 显示上三角矩阵R

最后，为了说明基于Givens旋转的QR分解的效果，我们可以直接使用`qr`函数计算并比较结果：

A = [1 2 1; 2 3 2; 3 4 4];
[Q, R] = qr(A, 0); % 0表示使用经典的Gram-Schmidt过程

% 现在我们使用Givens旋转来改进QR分解
[Q, R] = qr(A, 'econ'); % 'econ'模式下MATLAB使用Householder反射

disp(Q); % 显示正交矩阵Q
disp(R); % 显示上三角矩阵R