请详细解释如何应用拉普拉斯变换来求解一个线性时不变系统的零输入响应，并给出计算步骤和实例。

在信号与系统分析中，拉普拉斯变换是一种强大的数学工具，它用于将线性时不变系统的时间域响应转换到复频域进行分析。零输入响应指的是系统在没有外部输入的情况下，由于初始状态不为零而产生的响应。掌握拉普拉斯变换在求解零输入响应中的应用，对于理解系统的行为至关重要。具体步骤如下：

参考资源链接：[信号与系统课后答案.pdf](https://wenku.csdn.net/doc/644b7e88fcc5391368e5eebe?spm=1055.2569.3001.10343)

首先，我们需要确定系统的微分方程，然后对微分方程两边进行拉普拉斯变换。应用拉普拉斯变换的基本性质和定理，我们可以得到系统的复频域表达式。通过求解这个表达式，我们可以找到系统的零输入响应。
以一个一阶线性时不变系统为例，其微分方程为 y'(t) + ay(t) = 0，其中 y(t) 是系统的响应，a 是常数。在 t=0 时，我们假设初始条件为 y(0) = y₀。
两边取拉普拉斯变换得到：sY(s) - y₀ + aY(s) = 0。接着，我们可以解这个方程以找到 Y(s)，即系统的复频域响应表达式。
最后，通过对 Y(s) 进行拉普拉斯逆变换，我们可以得到零输入响应 y(t)。在本例中，y(t) = y₀e^(-at)，这是拉普拉斯变换求解线性时不变系统零输入响应的一个简单实例。
为了进一步理解和掌握这一过程，建议参考《***》这份资料，其中包含了信号与系统课后答案.pdf，该资料能够为你提供更多的练习题以及详细的解答步骤，帮助你巩固理论知识并提高实际操作能力。

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