牛顿迭代法Python

牛顿迭代法是一种求解方程的数值方法，可以用于求解非线性方程。下面是Python实现牛顿迭代法的代码和步骤：

1. 定义函数f(x)，表示要求解的方程的表达式。
2. 定义函数g(x)，表示要求解的方程的导函数。
3. 定义主函数main()，设置初值x0和误差要求e，并初始化迭代次数L。
4. 使用while循环，当残差小于误差要求时停止迭代。
5. 在循环中使用牛顿迭代公式x1=x0-f(x0)/g(x0)进行迭代。
6. 更新x0的值为x1，并统计迭代次数L。
7. 输出数值解x1，验证解的正确性，输出迭代次数L。

下面是Python代码实现牛顿迭代法：

import numpy as np

def f(x):
    y = x**3 - x - 1
    return y

def g(x):
    y = 3*x**2 - 1
    return y

def main():
    x0 = 1.5
    e = 10**(-9)
    L = 0
    while abs((f(x0)-0)) > e:
        x1 = x0 - f(x0)/g(x0)
        x0 = x1
        L = L + 1
    print(f"x1={x1}")
    print(f(f(x0)-0))
    print(f"L={L}")

if __name__ == '__main__':
    main()

相关问题

牛顿迭代法python

牛顿迭代法是一种数值分析方法，用于寻找函数的零点或根。它是一种迭代公式，可以通过不断逼近函数的根来计算。

下面是一个使用Python实现牛顿迭代法的示例代码：

def newton(f, df, x0, eps):
    """
    :param f: 待求解的函数
    :param df: f的导函数
    :param x0: 初始估计值
    :param eps: 精度要求
    :return: 函数f的零点
    """
    xn = x0
    while abs(f(xn)) > eps:
        xn = xn - f(xn) / df(xn)
    return xn

其中，f是待求解的函数，df是f的导函数，x0是初始估计值，eps是精度要求。函数中的while循环将继续执行，直到f(xn)的绝对值小于eps为止。在每次迭代中，我们通过xn - f(xn) / df(xn)计算下一个x值。

下面是一个使用该函数计算方程x^3 - x - 1 = 0的根的示例代码：

def f(x):
    return x ** 3 - x - 1

def df(x):
    return 3 * x ** 2 - 1

root = newton(f, df, 1, 1e-6)
print(root)  # 输出1.3247179572456565

这里我们定义了函数f和它的导函数df，并将它们作为参数传递给newton函数。我们将初始估计值设置为1，并将精度要求设置为1e-6。运行结果表明，解为1.3247179572456565。

牛顿迭代法 python

### 牛顿迭代法的Python实现

牛顿迭代法是一种用于求解非线性方程的有效数值方法。该算法通过不断改进猜测值来逼近函数零点的位置。

下面是一个简单的Python代码示例，展示了如何利用牛顿迭代法寻找给定函数\( f(x) \) 的根：

def newton_iteration(f, df, x0, epsilon=1e-6, max_iter=100):
    """
    使用牛顿迭代法求解f(x)=0.
    
    参数:
        f : 函数对象 - 待求解的目标函数
        df : 函数对象 - 目标函数的一阶导数
        x0 : float - 初始估计值
        epsilon : float - 收敛精度，默认为1e-6
        max_iter : int - 最大允许迭代次数，默认为100
        
    返回:
        root : float - 找到的近似根
    """

    xn = x0
    
    for n in range(0,max_iter):
        fxn = f(xn)
        
        if abs(fxn) < epsilon:
            print('找到满足条件的解')
            return xn
            
        dfxn = df(xn)

        if dfxn == 0:
            print('除零错误!')
            return None
            
        xn = xn - fxn/dfxn
        
    print('已达到最大迭代次数')
    return None


# 定义目标函数及其一阶导数作为测试案例
def func(x):
    return x ** 2 - 4 

def deriv_func(x):
    return 2 * x  

# 调用newton_iteration()并传入参数
root = newton_iteration(func, deriv_func, 8)[^1]

if root is not None:
    print(f'所求得的一个正实根约为 {root:.9f}')
else:
    print("未能收敛至有效解")

此程序定义了一个名为`newton_iteration()`的辅助函数，它接受五个输入参数：要解决的目标函数 \( f(x)\)，其对应的导数 \( f'(x)\),初始猜测值 \( x_0\) ，以及两个可选参数——期望误差范围和最大迭代次数。当绝对误差小于指定阈值时停止循环；如果遇到除以零的情况，则返回异常提示信息；一旦超过设定的最大迭代次数也终止运算过程，并给出相应警告消息。