动态规划钢条切割问题

动态规划是解决钢条切割问题的有效方法。下面是解决该问题的步骤：

1.定义问题：假设我们有一段长度为n的钢条和一个价格表pi(i=1,2,3….)，其中pi表示长度为i英寸的钢条的价格。我们需要找到一种切割方案，使得切割后的钢条总价格最大。

2.找到最优子结构：假设我们已经找到了长度为n的钢条的最优切割方案，即rn。那么rn必然由一个或多个长度小于n的钢条的最优切割方案组成。因此，问题的最优解包含了子问题的最优解，具有最优子结构性质。

3.确定状态：我们可以用r[n]表示长度为n的钢条的最大收益。因此，我们需要求解的就是r[n]。

4.确定状态转移方程：假设我们已经知道了r, r, ..., r[n-1]的值，我们需要求解r[n]。我们可以枚举钢条的第一段切割位置，假设第一段切割位置为i，则有以下状态转移方程：

r[n] = max(p[i] + r[n-i])，其中1<=i<=n

5.确定边界条件：当钢条长度为0时，收益为0，即r=0。

6.计算最优解：根据状态转移方程和边界条件，我们可以使用自底向上的方法计算出r[n]的值，从而得到最优解。

下面是Python代码实现：

def cut_rod(p, n):
    r = [0] * (n + 1)
    for j in range(1, n + 1):
        q = -1
        for i in range(1, j + 1):
            q = max(q, p[i] + r[j - i])
        r[j] = q
    return r[n]

# 示例
p = [0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30]
n = 4
print("长度为{}的钢条的最大收益为{}".format(n, cut_rod(p, n)))