牛顿法matlab求无约束优化问题

牛顿法是一种常用的无约束优化方法，可以用于求解目标函数的最小值。在Matlab中，可以使用fminunc函数实现牛顿法求解无约束优化问题。具体步骤如下：

1.定义目标函数，例如：

fun = @(x) x(1)^2 + x(2)^2;

2.定义初始点，例如：

x0 = [1, 1];

3.调用fminunc函数进行优化，例如：

[x, fval] = fminunc(fun, x0);

其中，x为优化后的最优解，fval为目标函数在最优解处的函数值。

4.如果需要设置更多的优化参数，可以使用optimoptions函数进行设置，例如：

options = optimoptions('fminunc', 'Display', 'iter', 'Algorithm', 'quasi-newton');
[x, fval] = fminunc(fun, x0, options);

其中，'Display'参数用于设置输出信息的详细程度，'Algorithm'参数用于设置优化算法的类型。

相关问题

牛顿法matlab程序无约束

### Matlab 实现牛顿法无约束优化

#### 1. 牛顿法原理概述

对于无约束优化问题，牛顿法通过利用目标函数的一阶和二阶导数信息来构建泰勒展开近似模型。该方法的核心在于每次迭代都基于当前点处的目标函数值、梯度向量以及Hessian矩阵构造一个二次逼近，并据此确定新的试探步长。

当Hessian矩阵为正定时，能够确保新产生的搜索方向确实指向了更优的位置[^1]。

#### 2. MATLAB 程序及仿真

##### 2.1 MATLAB 程序

下面给出一段用于求解单变量或多变量情况下最小化问题的标准形式下的牛顿法MATLAB代码：

function [x_opt,fval]=newton_method(fun,x0,tol,maxiter)
% fun为目标函数句柄；
% x0为初始猜测值；
% tol为容差界限，默认设置较小值如1e-8;
% maxiter表示最大允许迭代次数；

if nargin<4 || isempty(maxiter),maxiter=100;end % 默认最大迭代次数设为100次
if nargin<3 || isempty(tol),tol=1e-8;end       % 容差默认取1E-8
    
options = optimset('Display','off');            % 关闭显示选项
[x_opt,~,fval] = fsolve(@(x)(gradient(fun(x))),x0,options); 

for iter=1:maxiter
    g = gradient(fun(x_opt));                    % 计算当前位置的梯度
    H = hessian(fun,x_opt);                      % 获取海森矩阵
    p=-inv(H)*g';                                % 解线性方程组获得更新增量p
    if norm(p)<tol                               % 如果变化幅度小于给定阈值，则停止循环
        break                                    % 提前退出循环
    end
    x_opt=x_opt+p';
    
end

end


function dfdx = gradient(f,x)
dfdx=numgrad(f,x);
return;

function d2fdx2=hessian(f,x)
d2fdx2=numhess(f,x);
return;

注意：上述`numgrad()` 和 `numhess()` 函数分别用来计算数值梯度和Hessian矩阵，在实际应用中可以根据具体需求替换为解析表达式的版本以提高效率。

##### 2.2 仿真结果

为了验证算法的有效性和准确性，可以通过设定不同的测试案例来进行仿真实验。比如考虑如下简单的一维抛物面函数作为被优化对象:

\[ f(x)=\frac{1}{2}(x_1^2+x_2^2)\]

此时可以直接调用上面定义好的`newton_method` 来获取最优解\( \mathbf{x}_{opt}=[0,\space 0]^T\) 及其对应的目标函数值 \(f(\mathbf{x}_{opt})=0\) 。当然也可以尝试其他类型的非凸或复杂结构的目标函数来进行更多样化的实验评估[^2]。

牛顿法解无约束优化问题matlab

牛顿法是一种求解无约束优化问题的方法，可以用MATLAB来实现。下面是一段MATLAB代码，可以用来实现牛顿法求解无约束优化问题：

% 定义目标函数和其一阶和二阶导数
syms x1 x2;
f = x1^2 + 2*x2^2 - 2*x1*x2 - 4*x2;
gradf = gradient(f, [x1, x2]);
hessf = hessian(f, [x1, x2]);

% 初始化变量
x0 = [0; 0];
tol = 1e-6;
max_iter = 100;

% 实现牛顿法
x = x0;
iter = 0;
while iter < max_iter
    grad_val = double(subs(gradf, [x1, x2], x'));
    hess_val = double(subs(hessf, [x1, x2], x'));
    delta = -inv(hess_val)*grad_val';
    x_new = x + delta;
    if norm(x_new - x) < tol
        break;
    end
    x = x_new;
    iter = iter + 1;
end

% 输出结果
x
f_val = double(subs(f, [x1, x2], x'))

这段代码中，我们首先定义了目标函数和其一阶和二阶导数。然后，我们初始化变量，包括初始点、精度要求和最大迭代次数。接下来，我们进入循环，计算当前点的梯度和海森矩阵，并求解牛顿方程，得到下一次迭代的点。如果满足精度要求，我们就跳出循环，输出最终的结果。

需要注意的是，这段代码中我们使用了符号计算的功能，因此需要先定义符号变量。如果需要求解其他的无约束优化问题，可以根据目标函数的不同进行相应的修改。