机械臂 matlab 逆运动学求解

使用 MATLAB 进行机械臂逆运动学求解的方法
背景概述
逆运动学问题是机器人领域中的核心问题之一，其目标是计算出使机械臂末端执行器达到特定位置和姿态所需的关节角度。通过 MATLAB 的工具箱支持以及强大的数值与符号运算能力，可以高效实现这一过程。

数学建模基础
在解决逆运动学问题之前，通常需要建立机械臂的正向运动学模型。这可以通过 Denavit-Hartenberg (D-H) 参数来描述机械臂各关节之间的几何关系[^1]。对于简单的双连杆机械臂，可以直接利用三角函数推导出解析解；而对于更复杂的多自由度机械臂，则可能需要采用数值方法求解。

解决方案步骤说明
1. 定义机械臂参数
定义机械臂的结构参数，例如链接长度、旋转轴方向等。这些参数用于构建 D-H 表格并进一步生成齐次变换矩阵 ( T )[^2]。
% 定义双连杆机械臂的参数
l1 = sym('l1'); % 链接1的长度
l2 = sym('l2'); % 链接2的长度
theta1 = sym('theta1'); % 关节角1
theta2 = sym('theta2'); % 关节角2
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2. 构造正向运动学方程
基于 D-H 参数表，构造机械臂末端执行器相对于基座坐标系的位置表达式：
[
x_e = l_1 \cos(\theta_1) + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2)
]
[
y_e = l_1 \sin(\theta_1) + l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2)
]
上述公式表示了末端执行器的位置与其对应关节角度的关系。
3. 推导逆运动学方程
给定期望的末端位置 ( (x_d, y_d) )，可通过代数法或几何法反推出两个关节的角度 ( (\theta_1, \theta_2) ):
[
r = \sqrt{x_d^2 + y_d^2}
]
[
\phi = atan2(y_d, x_d)
]
[
\theta_2 = acos\left( \frac{r^2 - l_1^2 - l_2^2}{2l_1l_2} \right)
]
[
\theta_1 = \phi - atan2(l_2sin(\theta_2), l_1 + l_2cos(\theta_2))
]
注意：以上公式仅适用于平面内的双连杆机械臂。如果涉及更多维度或者复杂约束条件，则需借助优化算法或其他高级技术完成求解。
4. 实现代码示例
以下是完整的 MATLAB 示例程序，演示如何根据输入的目标位置计算对应的关节角度：
function [theta1_sol, theta2_sol] = inverse_kinematics(xd, yd, l1_val, l2_val)

syms theta1 theta2 real;

% 已知链长
l1 = l1_val;
l2 = l2_val;

% 正向运动学方程
xe = simplify(l1 * cos(theta1) + l2 * cos(theta1 + theta2));
ye = simplify(l1 * sin(theta1) + l2 * sin(theta1 + theta2));

% 给定目标位置
eqns = [
xe == xd,
ye == yd];

vars = [theta1, theta2];

% 求解逆运动学方程组
sols = solve(eqns,vars,'Real',true);

% 提取解决方案
theta1_sol = double(sols.theta1);
theta2_sol = double(sols.theta2);

end
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调用此函数时传入具体数值即可获得结果:
[x_target,y_target]=deal(0.5,0.7); % 设定目标点坐标
link_lengths=[0.4 , 0.6]; % 设置两段手臂长度分别为0.4m和0.6m
[joint_angle1,joint_angle2]=inverse_kinematics(x_target,...
y_target,...
link_lengths(1),...
link_lengths(2))

disp(['Joint Angle 1: ', num2str(joint_angle1)]);
disp(['Joint Angle 2: ', num2str(joint_angle2)]);
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结果验证
运行上述脚本后会得到满足指定端点坐标的两套可行解（考虑到了不同象限情况）。实际应用中可根据物理限制挑选合理的一组作为最终输出。