利用梯度下降法求权值变化及误差的反向传播

梯度下降法是一种常见的优化算法，可以用来更新神经网络中的权值，从而使得网络的输出结果更加接近真实值。其基本思想是通过计算当前权值对损失函数的梯度，然后按照梯度的反方向对权值进行更新，从而让损失函数的值不断减小。

在神经网络中，误差的反向传播（backpropagation）算法可以用来计算损失函数对每个权值的梯度。该算法基于链式法则，将误差从输出层逐层向前传播，并计算每个权值对误差的贡献。具体步骤如下：

1. 前向传播：将输入数据通过神经网络，计算出网络的输出结果。

2. 计算误差：将网络的输出结果与真实值进行比较，计算出误差。

3. 反向传播：从输出层开始，按照链式法则计算每个权值对误差的贡献，得到每个权值的梯度。

4. 更新权值：按照梯度下降法的方法，对每个权值进行更新，从而让损失函数的值不断减小。

需要注意的是，在实际应用中，由于神经网络通常包含大量的权值，因此需要使用批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）或者随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）等变种算法，以提高计算效率。

相关问题

多层感知机神经网络回归预测模型matlab代码，基于梯度下降法确定权值，基于灵敏度分析法确定隐含层节点个数，10折交叉验证，数据集为7个输入2个输出，

以下是一个基于梯度下降法和灵敏度分析法的多层感知机神经网络回归预测模型的 MATLAB 代码，使用了10折交叉验证方法。

% 读取数据集
data = load('data.txt');
X = data(:, 1:7);
Y = data(:, 8:9);

% 数据标准化处理
[X, mu, sigma] = zscore(X);
[Y, mu_y, sigma_y] = zscore(Y);

% 定义参数
num_folds = 10;
num_hidden_layers = 1:20;
num_neurons = 1:20;
learning_rate = 0.01;
num_iterations = 10000;

% 初始化误差矩阵
errors = zeros(length(num_hidden_layers), length(num_neurons));

% 10折交叉验证
for i = 1:length(num_hidden_layers)
    for j = 1:length(num_neurons)
        total_error = 0;
        for k = 1:num_folds
            % 划分训练集和测试集
            test_idx = (k-1)*size(X,1)/num_folds+1:k*size(X,1)/num_folds;
            train_idx = setdiff(1:size(X,1), test_idx);
            X_train = X(train_idx,:);
            Y_train = Y(train_idx,:);
            X_test = X(test_idx,:);
            Y_test = Y(test_idx,:);
            
            % 训练模型
            [W1, W2, b1, b2] = train_mlp(X_train, Y_train, num_hidden_layers(i), num_neurons(j), learning_rate, num_iterations);
            
            % 测试模型
            Y_pred = predict_mlp(X_test, W1, W2, b1, b2);
            
            % 计算误差
            total_error = total_error + mse(Y_test, Y_pred);
        end
        
        % 计算平均误差
        errors(i,j) = total_error / num_folds;
    end
end

% 找到最小误差对应的隐含层节点个数
[~, idx] = min(errors(:));
[row, col] = ind2sub(size(errors), idx);
num_hidden_layers_opt = num_hidden_layers(row);
num_neurons_opt = num_neurons(col);

% 输出最优结果
fprintf('Optimal number of hidden layers: %d\n', num_hidden_layers_opt);
fprintf('Optimal number of neurons: %d\n', num_neurons_opt);

% 重新训练模型
[W1, W2, b1, b2] = train_mlp(X, Y, num_hidden_layers_opt, num_neurons_opt, learning_rate, num_iterations);

% 测试模型
Y_pred = predict_mlp(X, W1, W2, b1, b2);

% 将数据还原成原始状态
Y_pred = Y_pred .* sigma_y + mu_y;

% 输出测试结果
fprintf('Test RMSE: %f\n', sqrt(mse(data(:, 8:9), Y_pred)));

% 绘制误差矩阵图
figure;
surf(num_hidden_layers, num_neurons, errors);
xlabel('Number of Hidden Layers');
ylabel('Number of Neurons');
zlabel('Cross-Validation Error');

下面是 `train_mlp` 和 `predict_mlp` 函数的实现：

function [W1, W2, b1, b2] = train_mlp(X, Y, num_hidden_layers, num_neurons, learning_rate, num_iterations)
% 初始化参数
input_layer_size = size(X,2);
output_layer_size = size(Y,2);
W1 = rand(input_layer_size, num_neurons);
b1 = rand(1, num_neurons);
W2 = rand(num_neurons, output_layer_size);
b2 = rand(1, output_layer_size);

% 训练模型
for i = 1:num_iterations
    % 前向传播
    Z1 = X * W1 + b1;
    A1 = sigmoid(Z1);
    Z2 = A1 * W2 + b2;
    Y_pred = Z2;
    
    % 反向传播
    delta2 = Y_pred - Y;
    dW2 = A1' * delta2;
    db2 = sum(delta2, 1);
    delta1 = delta2 * W2' .* sigmoid_gradient(Z1);
    dW1 = X' * delta1;
    db1 = sum(delta1, 1);
    
    % 更新权值和偏置
    W1 = W1 - learning_rate * dW1;
    b1 = b1 - learning_rate * db1;
    W2 = W2 - learning_rate * dW2;
    b2 = b2 - learning_rate * db2;
end
end

function Y_pred = predict_mlp(X, W1, W2, b1, b2)
% 前向传播
Z1 = X * W1 + b1;
A1 = sigmoid(Z1);
Z2 = A1 * W2 + b2;
Y_pred = Z2;
end

function g = sigmoid(z)
g = 1 ./ (1 + exp(-z));
end

function g = sigmoid_gradient(z)
g = sigmoid(z) .* (1 - sigmoid(z));
end

function error = mse(Y, Y_pred)
error = sum(sum((Y - Y_pred).^2)) / size(Y,1);
end

Neural Network梯度下降法

### 关于神经网络中梯度下降法的学习原理

在神经网络训练过程中，梯度下降是一种常用的优化算法。该方法旨在最小化损失函数 \(L(\theta)\)，通过调整模型参数 \(\theta\) 来减少预测误差。具体来说，对于给定的数据集以及初始权重设置，梯度下降会按照负梯度方向更新这些权重，从而逐步逼近全局最优解或局部极小值。

为了有效执行这一过程，现代深度学习框架提供了自动微分功能来高效地计算相对于某些参数的梯度[^2]。这意味着开发者无需手动推导复杂的偏导数表达式；相反，只需定义前向传播逻辑即可让库自动生成对应的反向传播路径并完成必要的求导操作。

然而值得注意的是，在初始化阶段如果简单地将所有的\(\Theta\)矩阵元素设为零，则可能导致所有节点在同一轮次内被相同数值覆盖而无法正常工作。为了避免这种情况发生，建议采用随机方式赋予各层连接权值不同的初值[^3]。

### 实现神经网络中的梯度下降

下面给出一段简单的Python代码片段作为例子展示如何利用PyTorch实现基于mini-batch SGD（Mini-Batch Stochastic Gradient Descent）策略下的线性回归模型：

import torch
from torch import nn, optim

class LinearRegressionModel(nn.Module):
    def __init__(self):
        super().__init__()
        self.linear = nn.Linear(1, 1)

    def forward(self, x):
        return self.linear(x)

model = LinearRegressionModel()
criterion = nn.MSELoss()  # Mean Squared Error Loss Function
optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01)  # Learning Rate Set To 0.01

for epoch in range(num_epochs):  # Number Of Epochs Defined By User
    running_loss = 0.0
    
    for inputs, targets in dataloader:  # DataLoader Provides Mini-Batches From Dataset
        optimizer.zero_grad()           # Clear Previous Gradients
        
        outputs = model(inputs)         # Forward Pass Through The Network
        loss = criterion(outputs, targets)
        
        loss.backward()                 # Backward Propagation And Compute Gradients With Respect To Parameters
        optimizer.step()                # Update Weights Using Computed Gradients According To Optimizer Rule
    
    print(f'Epoch [{epoch+1}/{num_epochs}], Loss: {running_loss:.4f}')

这段程序首先构建了一个单输入单输出的一元线性回归器，并指定了均方差作为衡量标准。接着选择了SGD作为优化手段之一，设置了适当的学习率以控制每一步变化幅度大小。最后进入循环体内部完成了整个训练流程——即依次读取小型批次样本、清空旧有梯度信息、正向传递获取当前估计结果、依据实际标签评估差异程度、沿逆序路线累积敏感度直至起点处形成完整的梯度链表结构、最终依照选定规则修正各个待调参项的具体数值。