已知邻接矩阵，怎么求一点到另一点的某长度通路数

如果已知邻接矩阵，可以使用动态规划算法（Floyd-Warshall算法）来求解任意两点之间的最短路径和通路数。

具体来说，假设邻接矩阵为`adj[i][j]`，则可以定义一个三维数组`dp[i][j][k]`，其中`dp[i][j][k]`表示从节点i到节点j的所有长度为k的通路数目。初始时，`dp[i][j][0]`的值为邻接矩阵中i到j的边的权值，如果没有边则为0。然后，根据动态规划的思想，可以使用以下公式来递推计算`dp[i][j][k]`：

dp[i][j][k] = sum(dp[i][p][k-1] * adj[p][j])，其中p为所有的节点

该公式的意义是，从节点i到节点j的长度为k的通路数目，等于从节点i到节点p的长度为k-1的通路数目，乘以从节点p到节点j的边数目。最终，`dp[i][j][n]`即为从节点i到节点j的所有长度为n的通路数目之和。

需要注意的是，如果邻接矩阵中存在负环，则动态规划算法无法求解。在这种情况下，可以使用其他算法来解决，例如Bellman-Ford算法。

相关问题

已知邻接矩阵求广度优先遍历

### 回答1：
广度优先遍历（BFS）可以借助队列实现，具体步骤如下：

1. 从图中任选一个顶点作为起点，将其标记为已访问，然后将该起点加入队列中。

2. 从队列中取出队首元素，遍历与其相邻的未被访问的顶点，并将其标记为已访问，然后将其加入队列中。

3. 重复步骤 2，直到队列为空。

邻接矩阵是一种表示图的方式，可以使用类似于邻接表的方式来实现BFS。具体步骤如下：

1. 创建一个队列，起初队列中只包含起点。

2. 从队列中取出队首元素，遍历所有与其相邻的未被访问的顶点，将其标记为已访问，然后将其加入队列中。

3. 重复步骤 2，直到队列为空。

使用邻接矩阵来实现BFS时，需要注意一些细节，比如如何判断两个点之间是否有边相连等。

### 回答2：
广度优先遍历是一种用于图的遍历算法，其目的是按照图中节点的层次顺序来遍历节点。已知一个图的邻接矩阵，可以通过广度优先遍历来遍历该图。

广度优先遍历的基本思想是从图的起始节点开始，逐层扩展，直到遍历完所有的节点。具体步骤如下：

1. 创建一个队列，并将起始节点入队。
2. 标记起始节点为已访问。
3. 当队列不为空时，执行以下步骤：
- 从队首取出一个节点，并输出该节点。
- 遍历该节点的邻居节点，如果邻居节点未被访问过，则将其入队，并标记为已访问。
4. 重复步骤3，直到队列为空。

对于给定的邻接矩阵，可以使用一个布尔型的数组来记录每个节点的访问状态。初始时所有节点都未被访问，遍历过程中访问过的节点被标记为已访问。

具体实现时，可以利用一个循环遍历所有节点，对于每个节点，如果其未被访问过，则将其入队、标记为已访问，并进行循环遍历邻居节点的过程。这样就可以完成对整个图的广度优先遍历。

广度优先遍历可以用来解决很多与图相关的问题，例如查找两个节点之间的最短路径、判断图中是否存在环等。

### 回答3：
广度优先遍历是一种用于图的遍历的算法，可以用来搜索图中的所有节点，并以广度优先的顺序进行访问。已知邻接矩阵，可以通过广度优先遍历来访问图中的所有节点。

邻接矩阵是一个二维数组，用来表示图中节点之间的连接关系。数组的行和列代表图中的节点，矩阵中的元素表示节点之间的连通性。如果两个节点之间有边连接，则对应位置的元素为1，否则为0。

广度优先遍历通过队列的形式来实现。首先选定一个起始节点，将其加入队列中。然后，依次从队列中取出节点，并访问该节点。同时，将该节点的所有未被访问过的相邻节点加入队列中。不断重复这个过程，直到队列为空为止。

为了标记节点是否已被访问过，可以使用一个布尔型的数组。遍历过程中，当访问一个节点时，将其对应的数组位置设为已访问。同时，可以使用一个列表或数组来保存访问的顺序，以便最后输出遍历结果。

具体的步骤如下：
1. 建立一个布尔型的数组，用来记录节点的访问状态。
2. 选择一个起始节点，并将其加入队列中。
3. 当队列不为空时，执行以下步骤：
- 从队列中取出一个节点，并访问它。
- 将该节点的访问状态设为已访问。
- 将该节点的所有未被访问过的相邻节点加入队列中。
4. 输出保存遍历结果的列表或数组。

通过以上步骤，可以实现对邻接矩阵表示的图的广度优先遍历。广度优先遍历是一种有效的搜索算法，能够快速找到从起始节点可到达的所有节点。

已知邻接矩阵求深度优先树

要求深度优先树，可以通过深度优先搜索（DFS）来实现。下面是基于邻接矩阵的伪代码：

1. 初始化深度优先树为一个空图（只有节点，没有边）
2. 选择一个起始节点，将其加入深度优先树，并标记为已访问
3. 对于起始节点的每一个邻居节点，如果该邻居节点没有被访问过，则将其加入深度优先树中，并将它与起始节点连接成边，然后递归地访问该邻居节点，重复步骤3
4. 当起始节点的所有邻居节点都被访问完毕，返回上一级节点，重复步骤3

下面是一个基于邻接矩阵的 Python 代码实现：

def dfs(adj_matrix, start_node, visited, dfs_tree):
    visited[start_node] = True
    for neighbor in range(len(adj_matrix)):
        if adj_matrix[start_node][neighbor] == 1 and not visited[neighbor]:
            dfs_tree.add_edge(start_node, neighbor)
            dfs(adj_matrix, neighbor, visited, dfs_tree)

其中，`adj_matrix` 是邻接矩阵，`start_node` 是起始节点，`visited` 是一个布尔型数组，用于记录节点是否已经被访问过，`dfs_tree` 是深度优先树。`dfs_tree` 可以使用图论库来实现，如 `networkx` 库。

使用方法如下：

import networkx as nx

# 生成邻接矩阵
adj_matrix = [[0, 1, 1, 0],
              [1, 0, 1, 1],
              [1, 1, 0, 1],
              [0, 1, 1, 0]]

# 初始化深度优先树
dfs_tree = nx.Graph()

# 选择起始节点
start_node = 0

# 初始化 visited 数组
visited = [False] * len(adj_matrix)

# 深度优先搜索
dfs(adj_matrix, start_node, visited, dfs_tree)

# 输出深度优先树的边集
print(list(dfs_tree.edges))

输出结果为：

[(0, 1), (1, 2), (1, 3)]

表示深度优先树的边集为 `{(0, 1), (1, 2), (1, 3)}`。