求BS模型对数资产价格的概率密度函数

BS模型指的是Black-Scholes模型，它是用于计算欧式期权定价的模型。在BS模型中，假设资产价格的对数服从几何布朗运动，因此可以得到资产价格的对数的概率密度函数为：

$$
f(x) = \frac{1}{\sigma x \sqrt{2\pi t}}\exp\left(-\frac{(\ln(x/K) + (r+\sigma^2/2)t)^2}{2\sigma^2t}\right)
$$

其中，$x$表示资产价格，$K$表示期权行权价格，$r$表示无风险利率，$\sigma$表示资产价格对数的波动率，$t$表示期权到期时间。

相关问题

BS模型对数资产价格的特征函数

Black-Scholes（BS）模型是用于计算欧式期权价格的著名模型，其关键是对数资产价格的特征函数。BS模型对数资产价格的特征函数为：

$$
\phi(d_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}d_1^2}
$$

其中，$d_1$ 表示：

$$
d_1=\frac{\ln(S_t/K)+(r+\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}
$$

其中，$S_t$ 表示当前资产价格，$K$ 表示期权行权价格，$r$ 表示无风险利率，$\sigma$ 表示资产价格的波动率，$T$ 表示期权到期时间，$t$ 表示当前时间。特征函数 $\phi(d_1)$ 描述了资产价格在到期时间 $T$ 时达到行权价的概率，即期权到期时收益为正的概率。根据期权定价理论，欧式看涨期权的价格为：

$$
C_t=S_t\Phi(d_1)-Ke^{-r(T-t)}\Phi(d_2)
$$

其中，

$$
d_2=d_1-\sigma\sqrt{T-t}
$$

欧式看跌期权的价格为：

$$
P_t=Ke^{-r(T-t)}\Phi(-d_2)-S_t\Phi(-d_1)
$$

其中，$\Phi$ 表示标准正态分布的累积分布函数。

bs模型对数资产价格特征函数

Black-Scholes (BS) 模型是用于计算欧式期权价格的经典模型。其关键是特征函数，即 BS 模型对数资产价格的特征函数可以表示为：

$$
\phi(d_1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{d_1^2}{2}}
$$

其中，$d_1$ 表示：

$$
d_1=\frac{\ln(\frac{S_t}{K})+(r+\frac{\sigma^2}{2})(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}
$$

其中，$S_t$ 表示当前股票价格，$K$ 表示期权行权价，$r$ 表示无风险利率，$\sigma$ 表示标的资产的波动率，$T$ 表示期权到期时间，$t$ 表示当前时间。特征函数 $\phi(d_1)$ 描述了标的资产价格在到期时间 $T$ 时达到行权价的概率，即期权到期时收益为正的概率。根据期权定价理论，欧式看涨期权的价格为：

$$
C_t=S_t\Phi(d_1)-Ke^{-r(T-t)}\Phi(d_2)
$$

其中，

$$
d_2=d_1-\sigma\sqrt{T-t}
$$

欧式看跌期权的价格为：

$$
P_t=Ke^{-r(T-t)}\Phi(-d_2)-S_t\Phi(-d_1)
$$

其中，$\Phi$ 表示标准正态分布的累积分布函数。