最小生成树（克鲁斯卡尔算法）

最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是一个图论中的概念，它指的是在一个加权无向图中，连接所有顶点形成一棵树，使得这棵树的所有边的总权重（即边的长度之和）尽可能小。最著名的算法之一用于找到最小生成树的是克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm），也称为贪心算法。

克鲁斯卡尔算法步骤如下：
1. 将所有的边按权重从小到大排序。
2. 初始化一个空的最小生成树，将树的起点设为任意一个顶点。
3. 遍历排序后的边，每次选择一条不在当前树中的边，这条边连接两个尚未连接的顶点，并将其加入树中。
4. 重复此过程，直到树包含了所有顶点，或者没有更多边可以添加。

相关问题

最小生成树克鲁斯卡尔算法c++

克鲁斯卡尔算法是一种求解最小生成树的贪心算法，其基本思想是将所有边按照权值从小到大排序，然后依次加入到生成树中，如果加入一条边会形成环，则不加入这条边，直到生成树中包含所有的点为止。

下面是克鲁斯卡尔算法的 C 语言实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAX_N 1000
#define MAX_M 10000

typedef struct {
    int u, v, w;
} Edge;

Edge edges[MAX_M];
int fa[MAX_N];

int cmp(const void *a, const void *b) {
    return ((Edge *) a)->w - ((Edge *) b)->w;
}

int find(int x) {
    return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        scanf("%d%d%d", &edges[i].u, &edges[i].v, &edges[i].w);
    }
    qsort(edges, m, sizeof(Edge), cmp);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        fa[i] = i;
    }
    int ans = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u = edges[i].u, v = edges[i].v, w = edges[i].w;
        int fu = find(u), fv = find(v);
        if (fu != fv) {
            fa[fu] = fv;
            ans += w;
            ++cnt;
            if (cnt == n - 1) break;
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

首先定义了一个 `Edge` 结构体，用来表示边，其中 `u` 和 `v` 表示边的两个端点，`w` 表示边的权值。接下来定义了一个 `cmp` 函数，用来对边按照权值从小到大排序。然后定义了一个 `find` 函数，用来查找某个点所在的集合。`fa` 数组用来记录每个点所在的集合的根节点。

在 `main` 函数中，首先读入点数和边数，然后读入每条边的信息，并将所有边按照权值从小到大排序。接着初始化每个点所在的集合，然后依次将每条边加入生成树中，如果加入一条边会形成环，则不加入这条边，直到生成树中包含所有的点为止。最后输出生成树的权值和即可。

最小生成树克鲁斯卡尔算法代码

以下是使用并查集实现的Kruskal算法的代码：

# 定义边类
class Edge:
    def __init__(self, u, v, w):
        self.u = u  # 边的起点
        self.v = v  # 边的终点
        self.w = w  # 边的权重

# 定义并查集类
class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        self.parent = [i for i in range(n)]
        self.rank = [1] * n
    
    # 查找x所在的连通块的根节点
    def find(self, x):
        if self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
        return self.parent[x]
    
    # 合并x和y所在的连通块
    def union(self, x, y):
        root_x, root_y = self.find(x), self.find(y)
        if root_x == root_y:
            return
        if self.rank[root_x] < self.rank[root_y]:
            self.parent[root_x] = root_y
        elif self.rank[root_x] > self.rank[root_y]:
            self.parent[root_y] = root_x
        else:
            self.parent[root_x] = root_y
            self.rank[root_y] += 1

# 定义Kruskal算法函数
def kruskal(n, edges):
    uf = UnionFind(n)
    edges.sort(key=lambda e: e.w)  # 按边权从小到大排序
    res = []
    for e in edges:
        if uf.find(e.u) != uf.find(e.v):  # 不在同一个连通块中
            uf.union(e.u, e.v)
            res.append(e)
    return res

其中n为顶点的数量，edges是存储边的列表，每个元素是一个Edge对象。kruskal函数返回的是最小生成树的边集合，也就是一个包含若干个Edge对象的列表。