信号与系统中初值定理和终值定理推导

在信号与系统中，初值定理和终值定理是两个非常重要的定理，它们可以帮助我们理解信号在系统中的行为以及系统对信号的影响。下面我分别介绍一下初值定理和终值定理的概念和推导过程。

1. 初值定理

初值定理是指在一个系统中，如果输入信号在时刻 t=0 时存在，那么输出信号在 t=0 时的值等于系统的初始状态。这个定理可以用以下公式表示：

lim(t→0) x(t) = x(0)

其中，x(t) 表示输入信号在时刻 t 的值，x(0) 表示系统在时刻 t=0 的初始状态。

下面我们来推导一下初值定理的公式。

假设系统的输入输出关系可以用微分方程表示为：

y(t) + a1*y'(t) + a2*y''(t) + ... + an*y^(n)(t) = b0*x(t) + b1*x'(t) + b2*x''(t) + ... + bm*x^(m)(t)

其中，y(t) 表示系统的输出，x(t) 表示系统的输入，a1~an 和 b0~bm 是常数，y'(t) 表示 y(t) 的一阶导数，y''(t) 表示 y(t) 的二阶导数，以此类推。

对上述微分方程两边同时取 t=0 时的极限，得到：

lim(t→0) y(t) + a1*lim(t→0) y'(t) + a2*lim(t→0) y''(t) + ... + an*lim(t→0) y^(n)(t) = b0*lim(t→0) x(t) + b1*lim(t→0) x'(t) + b2*lim(t→0) x''(t) + ... + bm*lim(t→0) x^(m)(t)

由于初值定理是指在 t=0 时的情况，因此上式可以简化为：

y(0) = b0*x(0)

也就是说，在 t=0 时，输出信号的值等于输入信号在 t=0 时的值乘以常数 b0，这个常数是系统的零状态响应。因此，初值定理的公式就是：

lim(t→0) x(t) = x(0)

2. 终值定理

终值定理是指在一个系统中，如果输入信号在时间趋于无穷大时趋于稳定，那么输出信号在时间趋于无穷大时的值等于输入信号在时间趋于无穷大时的稳态值与系统的稳态响应之和。这个定理可以用以下公式表示：

lim(t→∞) y(t) = lim(t→∞) x(t)·H(s)

其中，x(t) 表示输入信号，y(t) 表示输出信号，H(s) 表示系统的传递函数。

下面我们来推导一下终值定理的公式。

假设系统的输入输出关系可以用微分方程表示为：

y(t) + a1*y'(t) + a2*y''(t) + ... + an*y^(n)(t) = b0*x(t) + b1*x'(t) + b2*x''(t) + ... + bm*x^(m)(t)

将上式两边同时取 Laplace 变换，得到：

Y(s) + a1*s*Y(s) + a2*s^2*Y(s) + ... + an*s^n*Y(s) = b0*X(s) + b1*s*X(s) + b2*s^2*X(s) + ... + bm*s^m*X(s)

将上式整理后得到：

Y(s) = X(s)·H(s)

其中，H(s) 表示系统的传递函数，是一个复变量函数，可以表示为：

H(s) = b0 + b1*s + b2*s^2 + ... + bm*s^m / (s^n + a1*s^(n-1) + a2*s^(n-2) + ... + an)

将 H(s) 分解为部分分式的形式，可以得到：

H(s) = C1/s + C2/s^2 + ... + Cn/s^n + F(s)

其中，C1、C2、...、Cn 是常数，F(s) 是一个关于 s 的有限阶多项式。

对于一个稳定系统，当 t 趋于无穷大时，输入信号的稳态值等于输入信号在时间趋于无穷大时的极限值。因此，可以得到：

lim(t→∞) x(t) = lim(s→0) sX(s)

同理，输出信号在时间趋于无穷大时的值等于输入信号在时间趋于无穷大时的稳态值与系统的稳态响应之和，即：

lim(t→∞) y(t) = lim(s→0) sY(s) = lim(s→0) sX(s)·H(s)

这就是终值定理的公式。