初值定理和终值定理推导

初值定理和终值定理都是微积分中的基本定理，它们是解决微积分问题的重要方法。

初值定理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，x0∈[a,b]，则有：$$ \lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0) $$

这个定理告诉我们，在一个区间上，如果一个函数在某一点x0处连续，那么在x0点的极限值等于函数在x0点的函数值f(x0)。

终值定理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内具有导数，则有：$$ \int_a^bf'(x)dx=f(b)-f(a) $$

这个定理告诉我们，如果一个函数在某个区间上具有导数，那么在该区间上的积分等于函数在该区间的两个端点处的函数值之差。

现在我们来推导一下终值定理：

设F(x)是f(x)在区间[a,x]上的一个原函数，则有：

$$ \frac{d}{dx}F(x)=f(x) $$

对两边同时积分：

$$ \int_a^b\frac{d}{dx}F(x)dx=\int_a^bf(x)dx $$

根据牛顿-莱布尼茨公式，上式左边等于F(b)-F(a)，即：

$$ \int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) $$

所以终值定理得证。

初值定理的推导可以利用终值定理推出，具体过程如下：

设F(x)是f(x)在区间[a,x]上的一个原函数，则有：

$$ \frac{d}{dx}F(x)=f(x) $$

对两边同时积分得到：

$$ F(x)-F(x_0)=\int_{x_0}^xf(t)dt $$

当x趋近于x0时，有：

$$ \lim_{x \to x_0}(F(x)-F(x_0))=\lim_{x \to x_0}\int_{x_0}^xf(t)dt $$

根据终值定理：

$$ \lim_{x \to x_0}\int_{x_0}^xf(t)dt=f(x_0)-f(x_0)=0 $$

所以有：

$$ \lim_{x \to x_0}(F(x)-F(x_0))=0 $$

即：

$$ \lim_{x \to x_0}F(x)=F(x_0) $$

因为F(x)是f(x)在区间[a,x]上的一个原函数，所以：

$$ \lim_{x \to x_0}F(x)=\lim_{x \to x_0}\int_a^xf(t)dt $$

根据极限的唯一性，可得：

$$ \lim_{x \to x_0}\int_a^xf(t)dt=\int_a^{x_0}f(t)dt $$

所以初值定理得证。