推导sigmoid函数的导数表达式

sigmoid 函数的表达式为：

$$\sigma(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$$

其导数可以通过链式法则推导得到：

$$\begin{aligned}
\frac{d\sigma(x)}{dx} &= \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)\\
&= \frac{d}{du}\left(\frac{1}{u}\right) \cdot \frac{du}{dx}, \quad u = 1+e^{-x}\\
&= -\frac{1}{u^2} \cdot \frac{d}{dx}(1+e^{-x})\\
&= -\frac{1}{(1+e^{-x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(1+e^{-x})\\
&= -\frac{1}{(1+e^{-x})^2} \cdot (-e^{-x})\\
&= \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}\\
&= \frac{1}{1+e^{-x}}\cdot\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\\
&= \sigma(x)\cdot(1-\sigma(x))
\end{aligned}$$

因此，sigmoid 函数的导数表达式为：

$$\frac{d\sigma(x)}{dx}=\sigma(x)\cdot(1-\sigma(x))$$

相关问题

利用sympy求解sigmod函数导数，并用sympy软件包的绘图函数绘制sigmoid函数与它的导数可视化图

在Python中，`sympy`是一个用于符号数学计算的库，它可以帮助我们进行数学表达式的符号推导和简化。`sigmoid`函数是一个在机器学习中常用的函数，其数学表达式为 `1 / (1 + exp(-x))`。首先，我们可以使用`sympy`来求解这个函数的导数，然后使用`sympy`的绘图功能来绘制原函数和它的导数图像。

以下是使用`sympy`求解`sigmoid`函数导数并绘制图像的代码示例：

import sympy as sp
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义变量x
x = sp.symbols('x')

# 定义sigmoid函数
sigmoid = 1 / (1 + sp.exp(-x))

# 计算sigmoid函数的导数
sigmoid_derivative = sp.diff(sigmoid, x)

# 使用sympy的绘图函数绘制sigmoid函数及其导数图像
# 定义绘制的范围
x_range = sp.linspace(-10, 10, 400)

# 绘制sigmoid函数图像
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x_range, sigmoid.subs(x, x_range), label='Sigmoid')
plt.title('Sigmoid Function')
plt.legend()

# 绘制sigmoid函数导数图像
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(x_range, sigmoid_derivative.subs(x, x_range), label='Sigmoid Derivative')
plt.title('Sigmoid Derivative')
plt.legend()

# 显示图像
plt.tight_layout()
plt.show()

这段代码首先导入了`sympy`和`matplotlib.pyplot`库，然后定义了变量`x`，创建了`sigmoid`函数，并计算了它的导数。接着，利用`matplotlib`绘制了`sigmoid`函数和它的导数图像。

sigmoid函数的推导

sigmoid函数是一种常用的激活函数，它将输入值映射到0到1之间的值，常用于神经网络的输出层或隐藏层。sigmoid函数的数学表达式为：

$$f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$$

sigmoid函数的推导可以通过下面的步骤来实现：

1. 首先，将sigmoid函数的输出值表示为$y=f(x)$。

2. 将sigmoid函数的输出值对输入值$x$求导，得到：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}=\frac{1}{1+e^{-x}}\cdot\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}=\frac{1}{1+e^{-x}}\cdot\left(1-\frac{1}{1+e^{-x}}\right)$$

3. 将上式中的$\frac{1}{1+e^{-x}}$替换为$y$，得到：

$$\frac{dy}{dx}=y\cdot(1-y)$$

这个公式表明，sigmoid函数的导数可以用函数自身来表示。这个性质在神经网络中非常有用，因为它可以方便地计算反向传播算法中的梯度。