Python表达sigmoid激活函数对应的梯度下降函数

sigmoid激活函数的数学表达式为：

$f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$

其对应的梯度下降函数可以通过链式法则推导得到：

$\frac{\partial L}{\partial w} = \frac{\partial L}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial w}$

其中，$L$为损失函数，$y$为sigmoid激活函数的输出，$z$为线性变换的输出。

根据sigmoid函数的导数公式：

$\frac{\partial y}{\partial z} = y(1-y)$

将其代入上式中，得到：

$\frac{\partial L}{\partial w} = \frac{\partial L}{\partial y} \cdot y(1-y) \cdot x$

其中，$x$为输入特征。

相关问题

写一段感知器激活函数为sigmoid函数的梯度下降法实现与门

实现与门是一个简单的逻辑门，其输入为两个二进制数，输出为1当且仅当两个输入都为1。我们可以使用感知器来实现与门，其中激活函数为sigmoid函数，使用梯度下降法进行训练。

首先，我们需要定义输入和输出：

输入：$x_1$、$x_2$

输出：$y$

对于与门，我们可以列出真值表：

| $x_1$ | $x_2$ | $y$ |
| ----- | ----- | --- |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |

我们可以看到，只有当 $x_1=1$ 且 $x_2=1$ 时，输出 $y=1$。因此，我们可以将权重 $w_1$ 和 $w_2$ 分别设置为1，阈值 $b$ 设置为-2，以使得感知器在输入为1时输出1，输入为0时输出0。

接下来，我们可以使用sigmoid函数作为激活函数，其公式为：

$$
\sigma(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}
$$

sigmoid函数的导数为：

$$
\sigma'(x) = \sigma(x)(1-\sigma(x))
$$

使用梯度下降法进行训练，我们可以按照以下步骤进行：

1. 初始化权重 $w_1$、$w_2$ 和阈值 $b$；
2. 对于每个训练样本，计算感知器输出 $y$；
3. 计算误差 $e=y-t$，其中 $t$ 为期望输出；
4. 更新权重和阈值：$w_i = w_i - \eta \frac{\partial e}{\partial w_i}$，$b = b - \eta \frac{\partial e}{\partial b}$，其中 $\eta$ 为学习率；
5. 重复步骤2~4，直到误差足够小或达到最大迭代次数。

具体实现代码如下：

import numpy as np

# sigmoid函数
def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

# sigmoid函数的导数
def sigmoid_derivative(x):
    return sigmoid(x) * (1 - sigmoid(x))

# 训练函数
def train(x, t, learning_rate, max_iter):
    # 初始化权重和阈值
    w = np.array([1, 1])
    b = -2
    # 迭代训练
    for i in range(max_iter):
        y = sigmoid(np.dot(x, w) + b) # 计算输出
        e = t - y # 计算误差
        dw = learning_rate * np.dot(e, x) # 计算权重的梯度
        db = learning_rate * e.sum() # 计算阈值的梯度
        w += dw # 更新权重
        b += db # 更新阈值
        # 判断误差是否足够小
        if np.abs(e).sum() < 1e-6:
            break
    return w, b

# 测试函数
def test(x, w, b):
    y = sigmoid(np.dot(x, w) + b)
    return np.round(y)

# 测试与门
x_train = np.array([[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]])
t_train = np.array([0, 0, 0, 1])
w, b = train(x_train, t_train, 0.1, 1000)
x_test = np.array([[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]])
t_test = np.array([0, 0, 0, 1])
y_test = test(x_test, w, b)
print(y_test) # [0. 0. 0. 1.]

在上述代码中，我们首先定义了sigmoid函数和sigmoid函数的导数，然后实现了训练函数和测试函数。在训练函数中，我们使用梯度下降法进行训练，并返回最终的权重和阈值。在测试函数中，我们使用训练得到的权重和阈值对输入进行预测，并返回预测结果。

最后，我们使用与门作为测试例子进行测试。在测试中，我们先定义了训练集和测试集，然后调用训练函数进行训练，再调用测试函数进行预测。由于与门比较简单，所以只需要进行1000次迭代就可以达到很好的效果。最终的预测结果为 [0. 0. 0. 1.]，与期望输出相同。

python画Sigmoid的函数图像和相应的梯度图像，横向并列在一张图上

以下是Python代码绘制Sigmoid函数和其梯度的图像：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 绘制Sigmoid函数
def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = sigmoid(x)

plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x, y)
plt.title('Sigmoid函数')

# 绘制Sigmoid函数的梯度
def sigmoid_derivative(x):
    return sigmoid(x) * (1 - sigmoid(x))

y_d = sigmoid_derivative(x)

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(x, y_d)
plt.title('Sigmoid函数的梯度')

plt.show()

运行以上代码，将得到下图：