给出线性判别分析算法中的投影向量推导过程，并给出一种投影后数据的分界面表达式

线性判别分析算法中的投影向量推导过程如下：

1. 计算每个类别的均值向量

$$\boldsymbol{\mu}_i=\frac{1}{n_i}\sum_{\boldsymbol{x}\in D_i}\boldsymbol{x},\quad i=1,2,\dots,c$$

其中 $n_i$ 表示第 $i$ 类样本的个数，$D_i$ 表示第 $i$ 类样本的集合。

2. 计算全局均值向量

$$\boldsymbol{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^cn_i\boldsymbol{\mu}_i$$

其中 $n$ 表示所有样本的个数。

3. 计算类内散度矩阵

$$\boldsymbol{S}_W=\sum_{i=1}^c\sum_{\boldsymbol{x}\in D_i}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}_i)(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}_i)^T$$

4. 计算类间散度矩阵

$$\boldsymbol{S}_B=\sum_{i=1}^cn_i(\boldsymbol{\mu}_i-\boldsymbol{\mu})(\boldsymbol{\mu}_i-\boldsymbol{\mu})^T$$

5. 计算投影向量

将样本投影到一维空间上，即找到一个投影向量 $\boldsymbol{w}$，使得投影后的样本能够最大化类间距离，最小化类内距离。这可以通过最大化 Fisher 函数来实现：

$$J(\boldsymbol{w})=\frac{\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{S}_B\boldsymbol{w}}{\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{S}_W\boldsymbol{w}}$$

其中，$\boldsymbol{S}_B$ 和 $\boldsymbol{S}_W$ 分别为类间散度矩阵和类内散度矩阵。

将 Fisher 函数进行求导，得到：

$$\boldsymbol{w}\propto\boldsymbol{S}_W^{-1}(\boldsymbol{\mu}_1-\boldsymbol{\mu}_2)$$

其中 $\propto$ 表示比例关系。由于投影向量的长度不影响分类效果，因此可以对 $\boldsymbol{w}$ 进行归一化处理，即：

$$\boldsymbol{w}=\frac{\boldsymbol{S}_W^{-1}(\boldsymbol{\mu}_1-\boldsymbol{\mu}_2)}{\left \| \boldsymbol{S}_W^{-1}(\boldsymbol{\mu}_1-\boldsymbol{\mu}_2) \right \|}$$

投影后数据的分界面表达式为：

$$y=\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}$$

其中，$\boldsymbol{x}$ 表示原始数据，$y$ 表示投影后的数据。分界面的表达式为 $y=\frac{1}{2}(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{\mu}_1+\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{\mu}_2)$。如果某个投影后的数据点 $y$ 大于该分界面的值，则将其归为第一类，否则归为第二类。