两个平行的半径为 R 的平面圆盘相距很近为 h ，一个位于另一个正上方，其间 充满粘性流体。两盘以恒定的相对速度u 互相靠近，从而排开流体。(1)写出此流动所满 足的基本方程和定解条件;(2)求出流场的流线分布;(3)证明圆盘所受到的总阻力

### 回答1：
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答：(1)基本方程：满足Navier-Stokes方程，定解条件：流体速度在圆盘表面为零；(2)流线分布：流体在圆盘表面沿着圆周方向流动；(3)总阻力：由于圆盘之间的粘性阻力，圆盘所受到的总阻力为2πRuh，其中R为圆盘的半径，u为圆盘的相对速度，h为圆盘之间的距离。

### 回答2：
(1) 此流动所满足的基本方程是流体的连续性方程和动量方程。连续性方程表示为：
∂(ρu)/∂x + ∂(ρv)/∂y + ∂(ρw)/∂z = 0
其中，ρ是流体的密度，u、v、w分别是流场在x、y、z方向的速度分量。

动量方程表示为：
ρ(∂u/∂t + u∂u/∂x + v∂u/∂y + w∂u/∂z) = -∂p/∂x + μ(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²) + ρgᵢ
ρ(∂v/∂t + u∂v/∂x + v∂v/∂y + w∂v/∂z) = -∂p/∂y + μ(∂²v/∂x² + ∂²v/∂y² + ∂²v/∂z²) + ρgⱼ
ρ(∂w/∂t + u∂w/∂x + v∂w/∂y + w∂w/∂z) = -∂p/∂z + μ(∂²w/∂x² + ∂²w/∂y² + ∂²w/∂z²) + ρgₖ
其中，p是压力，μ是粘性系数，g是重力加速度。

定解条件为：
1) 在x轴上的两个圆盘的速度分量相等，即u = v = w = 0，当y=0时，u = u0。
2) 当y=h时，u = -u0。
3) 在圆盘上表面无滑动条件，即流动速度与表面法向速度分量相等。

(2) 由于流动是二维对称的，可以采用极坐标系表示，设流动的速度场为u = u(r,θ)和v = v(r,θ)，则流线的方程为du/u = -dr/r 和 dv/v = -rdθ。解这两个方程可得：
u = A/r 和 v = B/2 + Cθ
其中A、B和C是常数。根据有界条件和对称性可知，A=0，B=0，C=u0/h。因此，流场的流线分布为v = u0θ/2。

(3) 证明圆盘所受到的总阻力。根据动量方程可知，在x方向上，圆盘所受到的总阻力为：
F = ∫(μ(∂u/∂y) - ∂p/∂x)dA
其中dA是圆盘表面的微面积。由于流场的速度分量只与θ有关，没有y方向的速度分量，因此∂u/∂y = 0，可得F = -∫∂p/∂x dA。根据流体力学的基本原理，圆盘所受到的总阻力正好等于流体靠近圆盘时压力的梯度力在该方向上的投影。

### 回答3：
(1)基本方程和定解条件：根据流体运动的基本方程——连续性方程、动量方程和黏性流体的牛顿定律，可以得到以下方程：

1. 连续性方程：
由于流动是稳定的，流体的质量守恒可以表示为：
∇·u = 0

2. 动量方程：
在圆盘流动中，可以使用雷诺运动方程来描述速度的变化：
∂u/∂t + u·∇u = -1/ρ∇p + ν∇^2u

其中，u 是流体速度向量，p 是压力，ν 是流体的运动粘度，ρ 是流体的密度。

3. 边界条件：
a) 在无穷远处，流体速度趋于零：u → 0 (当 r → ∞ 时)
b) 圆盘表面的切向速度为零：u = 0 (当 r = R 时)
c) 圆盘表面的法向速度为圆盘的运动速度：∂u/∂r = u (当 r = R 时)

(2)流场的流线分布：根据给定的边界条件和基本方程，可以求解出流场的速度分布和压力分布。流场的流线分布可以通过在流场中追踪一小段流体质点的运动路径来得到，这些质点沿着流线流动。对于两个平行的圆盘，流体沿着同心圆周流动，并且流线是闭合的。两个圆盘之间的流体流动是沿着半径方向的。

(3)证明圆盘所受到的总阻力：圆盘所受到的总阻力可以通过斯托克斯定理来计算。斯托克斯定理将曲面上的张力积分转化为曲线围成的面积积分。在这个问题中，我们可以选取两个圆盘的径向边界作为积分路径，并计算两个圆盘之间的流体对圆盘的阻力。总阻力等于两个圆盘所受到的阻力之和。

根据斯托克斯定理，圆盘的阻力可以表示为：
F = ∮_C τ·n ds = ∫_S (∇×τ)·n dS

其中，C 是积分路径，S 是圆盘的表面，τ 是应力张量，n 是表面法向量。

由于是层流流动，应力张量可以写为τ = -pI + 2νD，其中 D 是速度的梯度。

将上述表达式代入，可以得到总阻力的表达式。