两个平行的半径为 R 的平面圆盘相距很近为 h ，一个位于另一个正上方，其间充满粘性流体。两盘以恒定的相对速度u 互相靠近，从而排开流体。(1)写出此流动所满 足的基本方程和定解条件;(2)求出流场的流线分布;(3)证明圆盘所受到的总阻力

### 回答1：
。

答：(1)基本方程：对流动满足Navier-Stokes方程，定解条件：圆盘表面的流速为零，流体在圆盘外的流速为u；(2)流线分布：圆盘表面的流线为圆形，两盘之间的流线为椭圆形；(3)总阻力：由于粘性流体的存在，圆盘所受的总阻力为粘性阻力加上支配力的和。

### 回答2：
(1)此流动所满足的基本方程是黏性流体的Navier-Stokes方程：

质量守恒方程： ∇·v = 0

动量守恒方程： ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + μ∇²v

其中v是速度矢量，ρ是流体的密度，p是压力，μ是动力粘度。

定解条件是：
- 在两个圆盘的边界上，速度是0：v = 0
- 圆盘相对运动的边界条件：圆盘上的流动不能穿过圆盘表面，即没有流体泄漏，因此流体在圆盘上的法向速度分量为0：v·n = 0 (其中n是圆盘表面的法向量)
- 流体粘附在圆盘表面上，不会滑动：v = u (u是圆盘的运动速度)

(2)流场的流线分布可以通过解析或数值计算求得。由于题目中没有给出具体的边界条件和运动速度，因此无法给出具体的流线分布。

(3)圆盘所受到的总阻力可以通过计算两个圆盘之间流体的应力来得到。圆盘的总阻力可以分为两部分：一个是粘滞阻力，另一个是压力阻力。

粘滞阻力可以通过计算圆盘表面上的切应力来得到：
F_viscous = 2πRτ

其中τ是流体在圆盘表面上的切应力，可以通过流场计算得到。

压力阻力可以通过计算圆盘表面上的压力力来得到：
F_pressure = ∫p·n dS

其中p是流体的压力，n是圆盘表面的法向量，dS是圆盘表面的面积元素。需要对整个圆盘表面进行积分计算。

圆盘所受到的总阻力为：
F_total = F_viscous + F_pressure

### 回答3：
(1) 基本方程和定解条件:
设粘性流体的密度为ρ，粘度为μ。根据流体力学的基本方程和定解条件，可以得到以下方程和条件：
a) 连续性方程：
∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0
其中u为流体的速度场。

b) 动量守恒方程：
ρ(∂u/∂t + u·∇u) = -∇p + μ∇²u + ρg
其中p为压强场，g为重力加速度。

c) 边界条件：
在两个圆盘之间的粘性流体速度和压强要连续，即：
u1 = u2 = u
p1 = p2 = p

在两个圆盘表面，流场的切向速度为零，即：
u = 0

(2) 流场的流线分布:
由于流体是粘性的，流场会在两个圆盘之间形成一个粘滞层。
在两个圆盘的中心轴线附近，流线是直线，与圆盘表面成直角。
在两个圆盘的边缘，流线弯曲，并且相交。

(3) 圆盘所受到的总阻力:
设圆盘的半径为R，与流体之间的距离为h。根据流体力学的知识，圆盘所受到的总阻力可以通过积分流体力学方程得到。

在流体动量守恒方程中，忽略重力项，得到：
-∇p + μ∇²u = 0

在球坐标系中，圆盘具有旋转对称性，即沿着圆盘距离方向上的速度分量为零，即：
∂u_r/∂r = 0
∂u_θ/∂θ = 0
∂u_z/∂z = 0

根据上述条件和方程，可以求得在径向上的速度分量u_r的解析解：
u_r = (p - p_infinity)R²/(4μh) (1 - (r/R)²)
其中p_infinity为远离圆盘的压强。

圆盘所受到的总阻力可以通过积分u_r在整个圆盘表面得到:
F = ∫∫(τ · n) dA
其中τ为剪切应力，n为单位法向量，dA为面元。

根据上述解析解和对称性，可以得到剪切应力分量τ_rz:
τ_rz = -μ(∂u_r/∂z) = -μ(p - p_infinity)R²/(4μh) (r/R)²

根据剪切应力分量，可以推导出单位面元上的剪切力：
(τ · n) dA = τ_rz dA = -μ(p - p_infinity)R²/(4μh) (r/R)² dA

将其积分在整个圆盘表面上，可以得到圆盘所受到的总阻力：
F = ∫∫(τ · n) dA = ∫∫ -μ(p - p_infinity)R²/(4μh) (r/R)² dA
= -μ(p - p_infinity)R²/(4μh) ∫∫ (r/R)² dA
= -μ(p - p_infinity)R²/(4μh) ∫∫ r² dA
= -μ(p - p_infinity)R²/(4μh) ∫ 0 to 2π ∫ 0 to R r² r dr dθ
= -μ(p - p_infinity)R²/(4μh) (2π/4) R⁴
= -μ(p - p_infinity)πR⁴/(2h)
= -πμ(p - p_infinity)R⁴/(2h)

所以，圆盘所受到的总阻力为-πμ(p - p_infinity)R⁴/(2h)。