算法导论第16章16.2-5
时间: 2024-05-23 16:13:22 浏览: 14
算法导论第16章16.2-5题目描述:
证明:在所有的用于求解单源最短路径问题的算法中,Bellman-Ford算法是唯一一个能够处理权值可以是负数的图的算法。
证明如下:
首先,给定一个图G和一个源节点s,我们假设该图G中存在至少一条从源节点s到另一个节点v的路径,使得该路径上至少有一条边的权值为负数。我们的任务是要找到一条从源节点s到节点v的最短路径。
考虑Bellman-Ford算法的实现过程。该算法通过迭代更新每个节点的松弛值来找到最短路径。在算法的每一次迭代中,我们对所有的边进行一次松弛操作。如果图中存在一条从源节点s到节点v的最短路径,那么这条路径上的所有边都会被松弛,且最终计算出的节点v的最短路径长度将会是这条最短路径的长度。
现在我们考虑一种情况:假设在算法的第k次迭代中,我们已经找到了从源节点s到节点v的长度为k的最短路径。此时考虑该最短路径的最后一条边(u,v),且该边的权值为负数。由于在Bellman-Ford算法中,我们是对所有边进行松弛操作的,因此在第k+1次迭代中,我们一定会通过这条边(u,v)来进行松弛操作。此时,由于(u,v)的权值为负数,因此算法将会通过这条边来缩短v的距离值,使得v的距离值变成小于k的某个值。这就意味着我们找到了一条从源节点s到v的更短的路径,与假设矛盾。
因此,我们得出结论:在所有的用于求解单源最短路径问题的算法中,Bellman-Ford算法是唯一一个能够处理权值可以是负数的图的算法。
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$$
c[i][j] = \min_{k=i}^j(c[i][k-1] + c[k][j] + pen(i,j,k))
$$
其中 $pen(i,j,k)$ 表示在第 $k$ 个单词后面放置一个空格所造成的“坏处”,即 $(M-j+i-k-1)^2$。最终,整个序列的最小“坏处”值可以通过 $c[1][n]$ 计算得到。
下面给出一个实现动态规划算法求解该问题的Python代码: