设共有 N = 1, 2, 3, ..., I 个产品，这 I 个产品间都可以相互替代。每种产品的不确定需求为 zi ，产品的生产成本为 ci，产品的超储成本为 hi，缺货成本为 bi, 设当产品 j 的数量不能满足其需求时，可以用产品 i 代替。目标是找到每个产品的最优库存xi，使得满足不确定需求，且成本最小。请用latex语言写出基于wasserstein distance-based distributional set的分布式鲁棒优化模型

为了解决这个问题，我们可以使用分布式鲁棒优化（DRO）来建模。DRO是一种将不确定性考虑在内的优化方法，它通过最小化一个分布的Wasserstein距离来保证解的鲁棒性。我们可以将每个产品的需求量看作一个随机变量，用分布描述其不确定性。设产品 j 的需求量为 $Z_j$，其分布为 $P_j$，则问题可以表示为以下DRO模型：

\begin{aligned}
\min_{x} & \quad \sum_{j=1}^I c_j x_j + h_j \mathbb{E}_{Z_j \sim P_j} [\max(0, x_j - Z_j)] + \sum_{j=1}^I b_j \mathbb{E}_{Z_j \sim P_j} [\sum_{i=1}^I p_{ij} \max(0, Z_j - x_i)] \\
\text{s.t.} & \quad \sum_{j=1}^I x_j \geq \sum_{j=1}^I \mathbb{E}_{Z_j \sim P_j} [Z_j]
\end{aligned}

其中第一项表示生产成本，第二项表示超储成本，第三项表示缺货成本。约束条件表示所有产品的库存量之和必须大于等于所有需求量之和。

这个模型可以看作是在Wasserstein距离的意义下对需求分布的集合进行优化。具体来说，第二项和第三项中的期望可以看作是对需求分布的Wasserstein距离的估计。这个模型可以通过分布式算法解决，每个节点只需要维护自己的需求分布并进行信息交换即可。

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设共有 N = 1, 2, 3, ..., I 个产品，这 I 个产品间都可以相互替代。每种产品的不确定需求为 zi ，产品的生产成本为 ci，产品的超储成本为 hi，缺货成本为 bi, 设当产品i的数量不能满足其需求时，可以用其他产品代替。目标是找到每个产品的最优库存xi，使得满足不确定需求，且成本最小。写出其分布式鲁棒优化模型

假设有 K 个节点，每个节点 k 维护一组决策变量 $x_k=(x_{k1},x_{k2},...,x_{kI})$，表示在该节点上每个产品的库存量。

定义节点 k 上的目标函数为：
$$\min_{x_k} \sum_{i=1}^I(c_i+\frac{1}{K}h_i)x_{ki}+\frac{1}{K}\sum_{j=1}^K\sum_{i=1}^Ib_{ij}f(z_{ij}-x_{k'i})$$
其中，$c_i$ 表示产品 i 的生产成本，$h_i$ 表示该产品的超储成本，$b_{ij}$ 表示当节点 j 上的产品 i 的数量不能满足其需求时，使用其他产品代替所产生的缺货成本。$f(z_{ij}-x_{k'i})$ 表示节点 j 上的需求分布 $z_{ij}$ 与节点 k' 上的库存分布 $x_{k'i}$ 之间的距离函数，可以选用 Wasserstein 距离、KL 散度等。

定义集合 $X=\{x|x\in R^{K\times I},\sum_{k=1}^Kx_{ki}\geq z_{ij},\forall i,j\}$，表示所有节点上的库存量满足需求。

则分布式鲁棒优化模型为：
$$\min_{x\in X} \sum_{k=1}^K\sum_{i=1}^I(c_i+\frac{1}{K}h_i)x_{ki}+\frac{1}{K}\sum_{j=1}^K\sum_{i=1}^Ib_{ij}f(z_{ij}-x_{k'i})$$
$$s.t.\ x\in X$$

其中，$x$ 表示所有节点的库存量向量的拼接。

该模型的优化目标是最小化成本，同时满足所有节点的需求。通过引入距离函数，模型可以提高鲁棒性，减少对需求分布的假设，更加适用于实际应用场景。