MATLAB一阶常微分方程数值解利用四阶龙格库塔方法

好的，下面是MATLAB实现一阶常微分方程数值解的四阶龙格库塔方法的代码示例：

% 定义常微分方程
f = @(t,y) y - t^2 + 1;

% 定义初始条件
y0 = 0.5;
t0 = 0;

% 定义步长和计算次数
h = 0.2;
n = 5;

% 初始化
t = zeros(n+1,1);
y = zeros(n+1,1);
t(1) = t0;
y(1) = y0;

% 迭代计算
for i = 1:n
    k1 = h*f(t(i),y(i));
    k2 = h*f(t(i)+h/2,y(i)+k1/2);
    k3 = h*f(t(i)+h/2,y(i)+k2/2);
    k4 = h*f(t(i)+h,y(i)+k3);
    y(i+1) = y(i) + 1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
    t(i+1) = t(i) + h;
end

% 输出结果
table(t,y)

% 绘制图像
plot(t,y)
xlabel('t')
ylabel('y')
title('4th-order Runge-Kutta method')

上述代码中，我们同样定义了常微分方程y' = y - t^2 + 1，初始条件为y(0) = 0.5，步长为h = 0.2，计算5次。然后使用四阶龙格库塔方法迭代计算y的值，并输出结果和绘制图像。

通过比较欧拉方法和四阶龙格库塔方法的结果，你可以发现四阶龙格库塔方法的数值解更加精确。

相关问题

MATLAB一阶常微分方程数值解利用改进欧拉方法

好的，下面是MATLAB实现一阶常微分方程数值解的改进欧拉方法的代码示例：

% 定义常微分方程
f = @(t,y) y - t^2 + 1;

% 定义初始条件
y0 = 0.5;
t0 = 0;

% 定义步长和计算次数
h = 0.2;
n = 5;

% 初始化
t = zeros(n+1,1);
y = zeros(n+1,1);
t(1) = t0;
y(1) = y0;

% 迭代计算
for i = 1:n
    y_half = y(i) + h/2*f(t(i),y(i));
    y(i+1) = y(i) + h*f(t(i)+h/2,y_half);
    t(i+1) = t(i) + h;
end

% 输出结果
table(t,y)

% 绘制图像
plot(t,y)
xlabel('t')
ylabel('y')
title('Improved Euler method')

上述代码中，我们同样定义了常微分方程y' = y - t^2 + 1，初始条件为y(0) = 0.5，步长为h = 0.2，计算5次。然后使用改进欧拉方法迭代计算y的值，并输出结果和绘制图像。

通过比较欧拉方法、改进欧拉方法和四阶龙格库塔方法的结果，你可以发现改进欧拉方法的数值解比欧拉方法更加精确，但比四阶龙格库塔方法略有不足。

四阶龙格库塔方法求解常微分方程数值解matlab

可以使用Matlab自带的ode45函数来求解常微分方程数值解，也可以手动实现四阶龙格库塔方法。下面是手动实现的代码：

function [t, y] = RK4(f, tspan, y0, h)
% f为常微分方程右侧的函数句柄，tspan为时间区间，y0为初始值，h为步长
t0 = tspan(1);
tf = tspan(2);

t = t0:h:tf;
n = length(t);

y = zeros(size(y0, 1), n);
y(:, 1) = y0;

for i = 1:n-1
k1 = f(t(i), y(:, i));
k2 = f(t(i) + h/2, y(:, i) + h/2*k1);
k3 = f(t(i) + h/2, y(:, i) + h/2*k2);
k4 = f(t(i) + h, y(:, i) + h*k3);

y(:, i+1) = y(:, i) + h/6*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4);
end

end

其中，函数f为常微分方程右侧的函数句柄，tspan为时间区间，y0为初始值，h为步长。调用方法如下：

[t, y] = RK4(@f, [t0, tf], y0, h);

其中，@f表示函数f的函数句柄，t0和tf分别是时间区间的起始时间和终止时间，y0是初始值，h是步长。求解后的数值解存储在y数组中，t数组存储时间节点。