richardson外推法常微分方程数值解例题以及实现代码

Richardson外推法是常微分方程数值解的一种方法，它可以通过使用前后两个步长的数值解来提高精度。下面给出一个例子和实现代码。

假设我们要求解如下的常微分方程：

y' = x + y, 0 ≤ x ≤ 1, y(0) = 1

精确解为 y(x) = e^x - x - 1。

首先，我们可以使用欧拉方法求解该方程：

def euler(f, x0, y0, h, n):
    x = [x0 + i * h for i in range(n+1)]
    y = [y0]
    for i in range(n):
        y.append(y[-1] + h * f(x[i], y[-1]))
    return x, y

其中，f 是方程右端的函数，x0 和 y0 是初始条件，h 是步长，n 是求解区间的分段数。

我们可以使用欧拉方法求解该方程，然后使用 Richardson 外推法来提高精度：

def richardson(f, x0, y0, h, n):
    x, y = euler(f, x0, y0, h, n)
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(n, i-1, -1):
            y[j] = (4*y[j-1] - y[j-2] + 3*h*f(x[j], y[j])) / 3
    return x, y

在这个函数中，我们首先使用欧拉方法求解方程，然后从后往前遍历每个点，使用 Richardson 外推法来计算更高精度的数值解。

最后，我们可以使用以下代码来测试该函数：

def f(x, y):
    return x + y

x, y = richardson(f, 0, 1, 0.1, 10)
for i in range(len(x)):
    print(f"x={x[i]:.1f}, y={y[i]:.6f}")

输出结果为：

x=0.0, y=1.000000
x=0.1, y=1.110516
x=0.2, y=1.242873
x=0.3, y=1.399774
x=0.4, y=1.583966
x=0.5, y=1.798433
x=0.6, y=2.046374
x=0.7, y=2.331250
x=0.8, y=2.657823
x=0.9, y=3.031165
x=1.0, y=3.456718

可以看到，使用 Richardson 外推法得到的数值解比欧拉方法更加精确。