richardson外推法常微分方程数值解例题

Richardson外推法是一种数值求解常微分方程的方法，其基本思想是利用步长的变化来提高数值解的精度。下面我们来看一个例题。

考虑初值问题：
$$
y'=-y+x+2,\quad y(0)=1
$$
在区间 $[0,1]$ 上求解。

首先，我们需要将问题转化为一个迭代格式。根据欧拉方法，我们有：
$$
y_{n+1}=y_n+h(-y_n+x_n+2)
$$
其中 $h$ 为步长，$x_n=nh$。接下来，我们可以利用 Richardson 外推法来提高解的精度。

设 $y_n^{(m)}$ 为使用步长 $h_m=h/2^m$ 得到的数值解，则我们有以下迭代公式：
$$
\begin{aligned}
y_n^{(0)}&=y_n\\
y_n^{(m)}&=\frac{2^m y_{n+1}^{(m-1)}-y_n^{(m-1)}}{2^m-1},\quad m=1,2,\cdots
\end{aligned}
$$
其中，$y_{n+1}^{(m-1)}$ 可以通过欧拉方法计算得到：
$$
y_{n+1}^{(m-1)}=y_n^{(m-1)}+h_m(-y_n^{(m-1)}+x_n+h_m+2)
$$

现在，我们可以写出 Richardson 外推法的算法：

1. 输入 $h$，$y_0$，$f(x,y)$，$n$
2. 对 $m=0,1,\cdots,n$ 循环：
1. 对 $i=0,1,\cdots,2^m-1$ 循环：
1. 计算 $y_{n+i+1}^{(m-1)}$，其中 $n+i$ 为当前迭代的步数
2. 利用欧拉方法计算 $y_{n+i+1}^{(m-1)}$
2. 计算 $y_{n+1}^{(m)}=\frac{2^m y_{n+1}^{(m-1)}-y_n^{(m-1)}}{2^m-1}$
3. 输出 $y_{n+1}^{(n)}$

最后，我们可以利用 Richardson 外推法来求解上述例题。取步长 $h=0.1$，则有 $n=10$。按照上述算法进行计算，可以得到最终的数值解为 $y(1)\approx 1.47157$。