有n个矩形，每个矩形可以用a,b来描述，表示长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d（相当于旋转90度）。例如（1,5）可以嵌套在（6,2）内，但不能嵌套在（3,4）中。请设计一个动态规划算法选出尽可能多的矩形排成一行，使得除最后一个矩形外，每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。（请先给出算法思路和递推式，再写伪代码，分析复杂度） 输入： 第一行是一个正数N(0<N)，表示测试数据组数， 每组测试数据的第一行是一个正整数n，表示该组测试数据中含有矩形的个数(n<=1000)。 随后的n行，每行有两个数a,b(0<a,b<100)，表示矩形的长和宽。 输出： 每组测试数据都输出一个数，表示最多符合条件的矩形数目，每组输出占一行 样例输入： 1 10 1 2 2 4 5 8 6 10 7 9 3 1 5 8 12 10 9 7 2 2 样例输出： 5

算法思路：

首先将每个矩形按照长和宽排序，方便后续进行状态转移。定义状态 $dp_i$ 表示以第 i 个矩形为结尾的最大子序列嵌套矩形个数。则状态转移方程为：

$$
dp_i = \max\{dp_j\} + 1, 0 \leq j < i, (a_j < a_i \land b_j < b_i) \lor (a_j < b_i \land b_j < a_i)
$$

其中 $\max\{dp_j\}$ 表示在前 i-1 个矩形中所有满足条件的嵌套矩形个数的最大值。注意要满足嵌套条件，即矩形 i 要能够嵌套在前面的某个矩形内。

递推时，可以先将矩形按照长和宽排序，然后从前往后依次计算每个状态 $dp_i$。最终的答案即为 $\max\{dp_i\}$。

伪代码：

sort(rectangles)  // 按照长和宽排序
for i = 0 to n-1 do
    dp[i] = 1
    for j = 0 to i-1 do
        if (a[j] < a[i] and b[j] < b[i]) or (a[j] < b[i] and b[j] < a[i]) then
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    ans = max(ans, dp[i])
end for
return ans

时间复杂度：

排序的时间复杂度为 $O(n\log n)$，计算状态的时间复杂度为 $O(n^2)$，因此总时间复杂度为 $O(n^2)$。