有n个矩形,每个矩形可以用a,b来描述,表示长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d(相当于旋转90度)。例如(1,5)可以嵌套在(6,2)内,但不能嵌套在(3,4)中。请设计一个动态规划算法选出尽可能多的矩形排成一行,使得除最后一个矩形外,每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。(请先给出算法思路和递推式,再写伪代码,分析复杂度) 输入: 第一行是一个正数N(0<N),表示测试数据组数, 每组测试数据的第一行是一个正整数n,表示该组测试数据中含有矩形的个数(n<=1000)。 随后的n行,每行有两个数a,b(0<a,b<100),表示矩形的长和宽。 输出: 每组测试数据都输出一个数,表示最多符合条件的矩形数目,每组输出占一行 样例输入: 1 10 1 2 2 4 5 8 6 10 7 9 3 1 5 8 12 10 9 7 2 2 样例输出: 5
时间: 2023-07-15 10:12:49 浏览: 37
算法思路:
首先将每个矩形按照长和宽排序,方便后续进行状态转移。定义状态 $dp_i$ 表示以第 i 个矩形为结尾的最大子序列嵌套矩形个数。则状态转移方程为:
$$
dp_i = \max\{dp_j\} + 1, 0 \leq j < i, (a_j < a_i \land b_j < b_i) \lor (a_j < b_i \land b_j < a_i)
$$
其中 $\max\{dp_j\}$ 表示在前 i-1 个矩形中所有满足条件的嵌套矩形个数的最大值。注意要满足嵌套条件,即矩形 i 要能够嵌套在前面的某个矩形内。
递推时,可以先将矩形按照长和宽排序,然后从前往后依次计算每个状态 $dp_i$。最终的答案即为 $\max\{dp_i\}$。
伪代码:
```
sort(rectangles) // 按照长和宽排序
for i = 0 to n-1 do
dp[i] = 1
for j = 0 to i-1 do
if (a[j] < a[i] and b[j] < b[i]) or (a[j] < b[i] and b[j] < a[i]) then
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
ans = max(ans, dp[i])
end for
return ans
```
时间复杂度:
排序的时间复杂度为 $O(n\log n)$,计算状态的时间复杂度为 $O(n^2)$,因此总时间复杂度为 $O(n^2)$。
相关问题
有n个矩形,每个矩形可以用a,b来描述,表示长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d(相当于旋转90度)。
这是一个经典的矩形嵌套问题,可以通过贪心算法来解决。具体步骤如下:
1. 将所有矩形按照长或宽的大小排序,即将所有矩形按照max(a,b)从小到大排序。
2. 从小到大遍历每个矩形X,尝试将其嵌套在已有的矩形Y中。
3. 对于每个矩形X,从已有的矩形中选择一个可以嵌套的矩形Y,并且使嵌套后的面积最大。
4. 如果找不到可以嵌套的矩形Y,就将X作为一个新的矩形加入到已有的矩形中。
5. 重复步骤2-4,直到所有矩形都被处理完毕。
6. 最终已有的矩形就是最大的矩形集合。
这个算法的时间复杂度是O(nlogn),其中n是矩形的个数。
有n个矩形,每个矩形可以用a,b来描述,表示长和宽。矩形x(a,b)可以嵌套在矩形y(c,d)中当且仅当a<c,b<d或者b<c,a<d(相当于旋转90度)。例如(1,5)可以嵌套在(6,2)内,但不
可以嵌套在(3,4)内。现在给定n个矩形,请你找出其中最多可以嵌套多少个矩形。
解题思路:
1. 首先将所有矩形按照长和宽从小到大排序,这样可以保证后面的矩形可以嵌套在前面的矩形中。
2. 定义一个数组dp,dp[i]表示以第i个矩形为最外层矩形时,最多可以嵌套多少个矩形。
3. 对于每个矩形i,枚举前面的所有矩形j,如果矩形i可以嵌套在矩形j中,则更新dp[i]为dp[j]+1。
4. 最终答案为dp数组中的最大值。
代码实现: