alpha = 0.0001 # 根据实际去调节 initial_w = 0 # 初始w，可以随机生成 initial_b = 0 # 初始b，可以随机生成 num_iter = 10 # 迭代次数

要实现梯度下降法来优化给定的损失函数（J(W)），你可以按照以下步骤进行：

1. **初始化参数**:
- 设置学习率 alpha (`alpha = 0.0001`)
- 初始化权重向量 `w` 和偏置项 `b`，如 `initial_w = 0` 和 `initial_b = 0`。通常，也可以随机初始化这些值。

2. **计算损失函数对权重的偏导数**:
对于每个神经元 `j`，偏导数 \( \frac{\partial J}{\partial w_j} \) 可以从公式[^1]中得到，它涉及到输入特征矩阵 `X`、标签向量 `y` 和当前权重 `W`。具体计算可能涉及指数函数、softmax 函数以及二进制指标函数 `I()`。

3. **更新权重**:
使用梯度下降算法，每次迭代时，权重向量 `W` 更新为:

   dw = -1 / m * (X.T @ (softmax(z) - y))

其中 `softmax(z)` 是一个归一化后的得分向量，`z` 是输入特征经过权重转换后的值，`@` 表示矩阵乘法，`m` 是样本数量。

4. **更新偏置**:
偏置项 `b` 的更新则相对简单，只与对应的输出单元有关：

   db = -1 / m * np.sum(softmax(z) - y, axis=0)

5. **执行迭代**:
循环执行以上步骤 `num_iter` 次，每次都应用新的权重 `W += alpha * dw` 和偏置 `b += alpha * db`。

6. **结果验证**:
在每次迭代后，你可以使用训练集评估模型性能，比如使用公式来比较不同迭代次数的结果。在最后的迭代后，你可以得到一组最优权重 `W` 和 `b`。

for iter in range(num_iter):
    z = X @ initial_w + initial_b
    softmax_z = softmax(z)
    dw = -1/m * (X.T @ (softmax_z - y))
    db = -1/m * np.sum(softmax_z - y, axis=0)
    initial_w -= alpha * dw
    initial_b -= alpha * db

# 结果存储
final_w = initial_w
final_b = initial_b