麦克劳林级数计算ln

麦克劳林级数是一种用多项式来逼近某些函数的方法，其中包括了计算ln(x)的麦克劳林级数。具体来说，ln(x)的麦克劳林级数展开式为：ln(x) = (x-1) - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 - (x-1)^4/4 + ...，其中|x-1| < 1。这个级数可以用来计算ln(x)的近似值，只需要将x代入级数中，取前几项相加即可得到一个近似值。需要注意的是，这个级数只在x接近1时收敛，当x离1越远，需要取更多的项才能得到较为准确的近似值。

相关问题

ln（1-x）展开成麦克劳林幂级数

$$
\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}
$$

这是因为当 $|x|<1$ 时，有：

$$
\begin{aligned}
\ln(1-x)&=\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}\mathrm{d}t\\
&=-\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}t^n\mathrm{d}t\\
&=-\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{x}t^{n-1}\mathrm{d}t\\
&=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}
\end{aligned}
$$

其中最后一步的积分公式为：

$$
\int x^{n-1}\mathrm{d}x=\frac{x^n}{n}+C
$$

其中 $C$ 是常数。

编写函数，计算ln(1 ) x  的级数表达式。使用所编的函数分别计算 x=0.01、0.1、 0.9、1.0 时ln(1 ) x  的值。

为了计算 \(\ln(1 + x)\) 的级数表达式，我们可以使用麦克劳林级数（Maclaurin series），对于 \(|x| < 1\)，这个无穷级数展开为：

\[
\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} + \mathcal{O}(x^{n+1})
\]

其中 \(\mathcal{O}(x^{n+1})\) 表示当 \(x\) 趋近于0时高阶项的贡献。

这是一个无限序列，但在实际应用中，我们可以截断到某个有限项来得到近似值。下面是一个简单的 Python 函数，用于计算前 n 项的和：

def ln_series_sum(x, n=5):
    if abs(x) > 1:
        raise ValueError("Input x must be less than 1 in absolute value.")
    
    result = x
    for i in range(2, n+1):
        sign = -1 if i % 2 else 1
        result += sign * (x**i / i)
    return result

# 计算给定 x 值的近似值
x_values = [0.01, 0.1, 0.9, 1.0]
series_results = [ln_series_sum(x) for x in x_values]

print(f"当 x = {x_values} 时，ln(1 + x) 的值分别为:")
for x, result in zip(x_values, series_results):
    print(f"{x}: {result}")

这个函数会计算 \(x\) 的前五项（默认），你可以通过改变 `n` 参数来调整精度。注意，当 `x` 接近1时，级数可能不再收敛，所以对 `x=1` 的计算需要特别处理。