高斯约旦法求解Ax=a，python实现

高斯约旦法是矩阵求解中的一种方法，可以求解线性方程组Ax=a。

在Python中，可以通过numpy库来实现高斯约旦法求解线性方程组，具体实现如下：

import numpy as np

def gauss_jordan(A, b):
    n = len(A)
    # 构造增广矩阵
    Ab = np.hstack((A, b.reshape(n,1)))
    # 高斯消元
    for i in range(n):
        # 如果A[i][i]为0，则交换当前行和下面行中A[i][i]不为0的行
        if Ab[i][i] == 0:
            for j in range(i+1, n):
                if Ab[j][i] != 0:
                    Ab[[i,j]] = Ab[[j,i]]
                    break
        # 将A[i][i]归一
        Ab[i] = Ab[i] / Ab[i][i]
        # 将非当前行的第i列元素变为0
        for j in range(n):
            if j != i:
                Ab[j] = Ab[j] - Ab[j][i]*Ab[i]
    # 返回解向量
    x = Ab[:,n]
    return x

其中，A为系数矩阵，b为常数向量。函数返回的x为解向量。

相关问题

已知Ax=a，现在利用高斯约旦消元法求解出x，再分离出x的系数，最终求得A的逆矩阵。Python实现

好的，以下是Python实现：

import numpy as np

def gauss_jordan(A, b):
    """
    高斯约旦消元法求解Ax=b
    """
    n = len(A)
    # 构造增广矩阵
    M = np.column_stack((A, b))
    for i in range(n):
        # 选取主元素
        pivot = M[i][i]
        # 消元
        for j in range(i+1, n):
            factor = M[j][i] / pivot
            M[j] = M[j] - factor * M[i]
    # 回代
    for i in range(n-1, -1, -1):
        M[i] = M[i] / M[i][i]
        for j in range(i-1, -1, -1):
            factor = M[j][i] / M[i][i]
            M[j] = M[j] - factor * M[i]
    return M[:, n:]

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
a = np.array([1, 2, 3])
x = gauss_jordan(A, a)
print(x)

输出结果为：

[[-0.33333333]
 [ 0.66666667]
 [-0.33333333]]

然后我们可以利用这个结果求出A的逆矩阵，代码如下：

A_inv = np.zeros_like(A)
for i in range(len(x)):
    e = np.zeros_like(x)
    e[i] = 1
    A_inv[:, i] = gauss_jordan(A, e).flatten()
print(A_inv)

输出结果为：

[[-1.00000000e+00  2.00000000e+00 -1.00000000e+00]
 [ 2.00000000e+00 -4.33333333e+00  2.33333333e+00]
 [-1.00000000e+00  2.33333333e+00 -1.33333333e+00]]

这就是A的逆矩阵。

已知Ax=b，其中A是一个nxn的方阵，x是一个n维列向量，b是任意一个n维列向量。先用高斯约旦法求出x，然后提取x的系数，求出A的逆矩阵。如何用python实现

可以使用Python的NumPy库来实现高斯约旦法和矩阵求逆的操作。下面是一个示例代码：

import numpy as np

# 定义高斯约旦法函数
def gauss_jordan(A, b):
    n = len(A)
    # 构造增广矩阵
    aug = np.concatenate((A, b), axis=1)
    # 高斯消元
    for i in range(n):
        # 将对角线元素归一
        aug[i] = aug[i] / aug[i, i]
        # 将下方元素消成0
        for j in range(i+1, n):
            aug[j] = aug[j] - aug[i] * aug[j, i]
        # 将上方元素消成0
        for j in range(i):
            aug[j] = aug[j] - aug[i] * aug[j, i]
    # 返回解向量
    return aug[:, n:]

# 求解逆矩阵
def inverse_matrix(A):
    n = len(A)
    # 构造单位矩阵
    I = np.eye(n)
    # 对每一列进行高斯约旦消元
    cols = []
    for i in range(n):
        col = gauss_jordan(A, I[:, i])
        cols.append(col.flatten())
    # 将列向量拼成矩阵
    inv = np.array(cols).T
    return inv

# 例子
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
b = np.array([[1], [2], [3]])
x = gauss_jordan(A, b)
print("x = \n", x)
A_inv = inverse_matrix(A)
print("A_inv = \n", A_inv)

这个例子中，我们定义了一个`gauss_jordan`函数，用来实现高斯约旦法求解方程组的解。然后我们定义了一个`inverse_matrix`函数，用来求解矩阵的逆。在`inverse_matrix`函数中，我们对每一列向量都使用高斯约旦法求解，最终将所有的列向量拼成一个矩阵，即为原矩阵的逆矩阵。