矩阵求逆在经济学中的应用：求解线性规划问题的关键

# 1. 矩阵求逆的概念和理论基础

矩阵求逆是线性代数中一项重要的操作，它允许我们求解线性方程组并执行其他数学运算。矩阵的逆矩阵是其乘积为单位矩阵的矩阵。

**单位矩阵**是一个对角线元素为 1，其他元素为 0 的方阵。对于一个 n 阶方阵 A，其单位矩阵表示为 I，即：

I = [1 0 0 ... 0]
    [0 1 0 ... 0]
    [0 0 1 ... 0]
    ...
    [0 0 0 ... 1]

矩阵 A 的逆矩阵，如果存在，记为 A^-1，满足以下条件：

A * A^-1 = A^-1 * A = I

# 2.1 高斯-约旦消去法

高斯-约旦消去法是一种广泛用于求解矩阵求逆的算法。它通过一系列行变换将矩阵转换为一个阶梯矩阵，然后通过逆向行变换将阶梯矩阵转换为单位矩阵。

### 2.1.1 消去法的基本步骤

高斯-约旦消去法的基本步骤如下：

1. **将矩阵转换为阶梯矩阵：**
- 选择一个非零元素作为主元。
- 使用行变换将主元所在行其他元素归零。
- 重复上述步骤，直到矩阵转换为阶梯矩阵。

2. **将阶梯矩阵转换为单位矩阵：**
- 选择阶梯矩阵中主元所在列，并使用行变换将该列其他元素归零。
- 重复上述步骤，直到阶梯矩阵转换为单位矩阵。

### 2.1.2 消去法的应用实例

考虑以下矩阵：

A = | 2  3  1 |
    | 1  2  1 |
    | 3  5  2 |

**转换为阶梯矩阵：**

1. 选择第一行第一列元素 2 作为主元。
2. 使用行变换将第二行和第三行第一列元素归零：
- R2 - R1 -> R2
- R3 - 3R1 -> R3

| 2  3  1 |
| 0 -1  0 |
| 0 -4 -1 |

3. 选择第二行第二列元素 -1 作为主元。
4. 使用行变换将第一行和第三行第二列元素归零：
- R1 + R2 -> R1
- R3 + 4R2 -> R3

| 2  2  1 |
| 0 -1  0 |
| 0  0 -1 |

**转换为单位矩阵：**

1. 选择第三行第三列元素 -1 作为主元。
2. 使用行变换将第一行和第二行第三列元素归零：
- R1 - R3 -> R1
- R2 + R3 -> R2

| 2  2  0 |
| 0 -1  0 |
| 0  0  1 |

此时，矩阵 A 已转换为单位矩阵。

### 代码块

以下 Python 代码演示了高斯-约旦消去法的实现：

def gauss_jordan(A):
    """
    高斯-约旦消去法求矩阵逆

    参数：
        A: 待求逆的矩阵

    返回：
        A 的逆矩阵，如果 A 不可逆则返回 None
    """

    n = len(A)
    I = [[int(i == j) for i in range(n)] for j in range(n)]  # 单位矩阵

    for i in range(n):
        # 找到第 i 行的主元
        max_row = i
        for j in range(i + 1, n):
            if abs(A[j][i]) > abs(A[max_row][i]):
                max_row = j

        # 如果主元为 0，则 A 不可逆
        if A[max_row][i] == 0:
            return None

        # 交换第 i 行和第 max_row 行
        A[i], A[max_row] = A[max_row], A[i]
        I[i], I[max_row] = I[max_row], I[i]

        #