矩阵求逆的数值方法：当解析法失效时的救命稻草

# 1. 矩阵求逆概述

矩阵求逆是线性代数中的一项基本操作，它求解一个矩阵的逆矩阵，即另一个矩阵与原矩阵相乘后得到单位矩阵。矩阵求逆在许多科学和工程应用中至关重要，例如图像处理、机器学习和数值模拟。

### 矩阵求逆的定义

对于一个 n×n 矩阵 A，其逆矩阵 A^-1 满足以下等式：

A * A^-1 = A^-1 * A = I

其中 I 是 n×n 单位矩阵。如果矩阵 A 可逆，则存在其逆矩阵；否则，A 称为不可逆矩阵。

### 矩阵求逆的应用

矩阵求逆在以下领域有着广泛的应用：

* **图像处理：**去噪、增强和变换
* **机器学习：**线性回归、支持向量机和神经网络
* **数值模拟：**求解线性方程组和微分方程

# 2. 矩阵求逆的数值方法

### 2.1 高斯消去法

#### 2.1.1 高斯消去法的原理

高斯消去法是一种通过一系列行变换将矩阵化为上三角矩阵，再通过回代求解方程组的方法。其原理是：对于一个 n 阶矩阵 A，通过行变换将其化为上三角矩阵 U，即存在一个非奇异矩阵 P，使得 PA = U。此时，方程组 Ax = b 可以化为 Ux = Pb，由于 U 是上三角矩阵，因此可以利用回代法逐个求出 x 的分量。

#### 2.1.2 高斯消去法的步骤

1. **化主元为 1**：对于第 i 行，如果第 i 列元素不为 0，则将其化为 1，否则交换第 i 行与其他行。
2. **消去主元下方的元素**：对于第 i 行，将第 i 列以下的元素都化为 0。
3. **回代求解**：从第 n 行开始，逐个回代求出 x 的分量。

**代码块：**

def gauss_elimination(A, b):
    """
    高斯消去法求解方程组 Ax = b

    参数：
        A: n 阶系数矩阵
        b: n 维列向量

    返回：
        x: n 维列向量，方程组的解
    """
    n = len(A)
    for i in range(n):
        # 化主元为 1
        if A[i][i] == 0:
            for j in range(i+1, n):
                if A[j][i] != 0: