数值分析线性拟合曲线

### 数值分析中的线性拟合方法

在线性拟合过程中，目标是最小化观测数据与模型预测之间的差异。对于形式为 \(h(x) = ax + b\) 的直线方程来说，这涉及到找到最佳的斜率\(a\)和截距\(b\)[^3]。

#### 最小二乘法原理

最小二乘法是一种常用的优化技术，它通过最小化误差平方和来估计未知参数的最佳近似解。当应用于线性关系的数据集时，此方法可以有效地求得最能代表这些点趋势的一条直线[^1]。

#### Python 实现方式

利用 `scipy.stats.linregress` 函数能够便捷地完成这一过程。该函数不仅返回了描述直线的关键属性——斜率(\(slope\)) 和截距 (\(intercept\)), 同时还提供了其他有用的统计量比如 R-squared 值, 它反映了自变量解释因变量变异性的比例[^2]。

from scipy import stats
import numpy as np

# 示例数据
x = np.array([0, 1, 2, 3, 4])
y = np.array([-1, 0.8, 2.1, 3.9, 5])

# 执行线性回归
result = stats.linregress(x, y)

print(f"Slope={result.slope:.3f}, Intercept={result.intercept:.3f}")
print(f"R-squared={result.rvalue**2:.3f}")

# 绘制图形展示结果
import matplotlib.pyplot as plt

plt.scatter(x, y, color='blue')
plt.plot(x, result.intercept + result.slope*x, 'r', label=f'Fitted line\nSlope={result.slope:.2f}\nIntercept={result.intercept:.2f}')
plt.legend()
plt.show()

上述代码片段展示了如何使用 SciPy 库来进行简单的线性拟合并可视化所得结果。这里创建了一个散点图表示原始数据，并叠加了一条红色线条描绘出由最小二乘法得出的最佳匹配直线。