E→TE’ E’ →+E|e T→FT’ T’ →T|e F→PF’ F’ →*F’|e P→(E)|a|b|^ (1）计算这个文法的每个非终结符的FIRST集和FOLLOW集。 （2）证明这个文法是LL（1）的。 （3）构造它的预测分析表。（4）构造他的递归下降分析程序

这是一个上下文无关文法（Context-Free Grammar, CFG），用于描述表达式的结构，其中包含加减乘除操作、变量和括号。根据给出的文法规则：

(1) 计算 FIRST 集合：
- E': {+, e}
- T': {F, e}
- F': {*F', e}
- P: {(,), a, b, ^}

- E 的 FIRST 集（因为 E 可能从 E' 或 T 开始）: {+, *, (, a, b, ^, e}
- T 的 FIRST 集（从 T 开始）: {F, e}
- F 的 FIRST 集（从 F 开始）: {*F', e}

FIRST 集合表示某个符号可以直接跟随在其后的所有字符集合。

FOLLOW 集合（对于 E）会记录在 E 后面可以合法跟哪些符号：
- FOLLOW(E): {), $} （$ 表示句子结束）

同样的规则应用于其他非终结符，但是由于 LL(1) 文法的特点，FOLLOW 集只依赖于当前符号，所以这里不一一列出全部。FOLLOW(T), FOLLOW(F), 和 FOLLOW(P) 都可以通过类似的方式得出。

(2) 证明为 LL(1)：
LL(1) 要求每一步选择都是唯一的，并且左部符号总是最左的。这个文法看起来满足这一条件，例如 E → TE' 中，T 是最左的非终结符，且没有歧义。

(3) 构造预测分析表（省略，因为这里不会列出完整的表格，但一般会包含行首符号，列首符号及其对应的右移动作）：

- 模板通常包括两列：输入符号（如 'E'）和可能接收到的下一个输入符号（如 'F'）以及对应的动作（如 'reduce E->TE'）。

(4) 递归下降分析程序是一个基于文法规则的函数定义，例如:

def parse_expression():
    expression = read_token()  # 读取第一个元素
    while True:
        if is_factor(expression):
            factor = read_factor()
            if is_terminal(factor):
                expression += factor
            else:
                term = parse_term()
                expression += term
        elif is_term(expression):
            term = read_term()
            if is_terminal(term):
                expression += term
            else:
                factor = parse_factor()
                expression *= factor
        else:
            break
    return expression

这只是一个基本框架，实际的程序需要处理各种边界情况和错误处理。