9. 小波变换与图像处理

### 小波变换在图像处理中的应用

小波变换作为一种强大的数学工具，在图像处理领域有着广泛的应用。其主要优点在于能够提供时间-频率域内的局部化信息，这使得它特别适合于分析具有突变特性的信号和图像。

#### 图像去噪

通过多分辨率表示，可以有效地分离噪声成分与有用的信息。具体来说，低频部分保留了大部分原始数据特征而高频则包含了细节以及可能存在的随机干扰。因此可以通过设定阈值来去除那些被认为是噪音的小幅波动[^1]。

import pywt
import numpy as np
from skimage import data, img_as_float

def denoise_image(image):
    coeffs = pywt.wavedec2(image, 'haar')
    threshold = 0.1 * max(coeffs[0].max(), abs(coeffs[0]).min())
    
    new_coeffs = list(map(lambda c: pywt.threshold(c, threshold), coeffs))
    
    return pywt.waverec2(new_coeffs, 'haar')

image = img_as_float(data.camera())
denoised_image = denoise_image(image)

#### 图像压缩

相比于传统的JPEG标准采用离散余弦变换(DCT)，基于小波的方法可以在更低比特率下获得更好的视觉质量。这是因为后者能更高效地捕捉到自然场景中存在的自相似性和冗余度，并且允许渐进传输——即先传送粗略轮廓再逐步细化至最终清晰度。

% MATLAB code snippet for image compression using wavelets
[C,S] = wavedec2(I, N, 'wname'); % Decompose the image into wavelet components.
threshold = quantile(abs(C(:)), q); % Determine a suitable threshold value based on desired quality vs size tradeoff.
C(abs(C)<threshold) = 0; % Apply hard-thresholding to achieve sparsity.
IC = waverec2(C, S, 'wname'); % Reconstruct compressed version from modified coefficients.
imwrite(IC, filename);

#### 边缘检测与其他高级操作

除了上述基本用途外，由于能够在多个尺度上独立考察对象属性变化情况的特点，还被用于诸如纹理分类、目标跟踪乃至医学影像诊断等领域内更为复杂的任务当中。例如，在边缘提取过程中，不同层次上的显著差异可以帮助精确定位物体边界位置；而在其他场合，则可借助特定类型的滤波器组设计达到增强某些物理量的效果。