应用mathematica求解无阻尼单摆周期的准确表达式

无阻尼单摆的运动方程为：

$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0$

其中，$\theta$ 是单摆的摆角，$t$ 是时间，$g$ 是重力加速度，$l$ 是单摆的长度。

该方程没有解析解，但可以使用级数展开的方法求解。

设单摆周期为 $T$，则可以将摆角 $\theta$ 展开为正弦函数的级数：

$\theta(t) = \theta_0\sin\omega t + \frac{1}{2}\theta_0\sin2\omega t + \frac{1}{2^2}\theta_0\sin3\omega t + \cdots$

其中，$\theta_0$ 是单摆的初始摆角，$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ 是单摆的角频率。

将上述级数展开代入运动方程，可以得到：

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\left(1 + \frac{1}{2^2}\sin^2\frac{\theta_0}{2} + \frac{1}{2^4}\sin^4\frac{\theta_0}{2} + \cdots\right)$

这个式子称为无阻尼单摆的周期公式。在 Mathematica 中，您可以使用以下代码求解：

g = 9.8; (* 重力加速度 *)
l = 1; (* 单摆长度 *)
θ0 = π/4; (* 初始摆角 *)
ω = Sqrt[g/l]; (* 角频率 *)
T = 2 π Sqrt[l/g] Sum[1/2^n Sin[θ0/2]^n, {n, 0, ∞}] (* 周期公式 *)

其中，`π` 表示圆周率。将上述代码输入 Mathematica 后，回车即可得到无阻尼单摆的周期的准确表达式。