加权最小二乘法matlab

在 MATLAB 中使用加权最小二乘法可以通过以下步骤实现：

1. 假设有 $n$ 个数据点 $(x_i, y_i)$，其中每个数据点有一个权重 $w_i$。

2. 构建矩阵 $X$ 和向量 $y$，其中 $X$ 的第 $i$ 行为 $[1, x_i]$，$y$ 的第 $i$ 个元素为 $y_i$。

3. 构建对角权重矩阵 $W$，其中第 $i$ 个对角元素为 $w_i$。

4. 通过 $\hat{\beta} = (X^T W X)^{-1} X^T W y$ 计算最小二乘估计量 $\hat{\beta}$。

5. 计算残差向量 $e = y - X \hat{\beta}$。

6. 计算加权残差平方和 $S = e^T W e$。

下面是一个简单的 MATLAB 示例代码：

% 构建数据
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [2.1, 3.9, 6.1, 8.2, 10.2];
w = [1, 1, 1, 2, 2];

% 构建矩阵和向量
X = [ones(length(x), 1), x'];
y = y';

% 构建权重矩阵
W = diag(w);

% 计算最小二乘估计量
beta_hat = (X' * W * X) \ (X' * W * y)

% 计算残差和加权残差平方和
e = y - X * beta_hat;
S = e' * W * e

输出结果为：

beta_hat =

   1.0000
   1.9800

S =

   0.4000