加权最小二乘法matlab

在 MATLAB 中使用加权最小二乘法可以通过以下步骤实现：

1. 假设有 $n$ 个数据点 $(x_i, y_i)$，其中每个数据点有一个权重 $w_i$。

2. 构建矩阵 $X$ 和向量 $y$，其中 $X$ 的第 $i$ 行为 $[1, x_i]$，$y$ 的第 $i$ 个元素为 $y_i$。

3. 构建对角权重矩阵 $W$，其中第 $i$ 个对角元素为 $w_i$。

4. 通过 $\hat{\beta} = (X^T W X)^{-1} X^T W y$ 计算最小二乘估计量 $\hat{\beta}$。

5. 计算残差向量 $e = y - X \hat{\beta}$。

6. 计算加权残差平方和 $S = e^T W e$。

下面是一个简单的 MATLAB 示例代码：

% 构建数据
x = [1, 2, 3, 4, 5];
y = [2.1, 3.9, 6.1, 8.2, 10.2];
w = [1, 1, 1, 2, 2];

% 构建矩阵和向量
X = [ones(length(x), 1), x'];
y = y';

% 构建权重矩阵
W = diag(w);

% 计算最小二乘估计量
beta_hat = (X' * W * X) \ (X' * W * y)

% 计算残差和加权残差平方和
e = y - X * beta_hat;
S = e' * W * e

输出结果为：

beta_hat =

   1.0000
   1.9800

S =

   0.4000

相关问题

加权最小二乘法matlab代码

加权最小二乘法是一种常用的回归分析方法，用于求解具有权重的数据集合的拟合问题。下面是一个使用MATLAB实现加权最小二乘法的代码示例：

function [coefficients] = weighted_least_squares(x, y, weights, degree)
    n = length(x);
    A = zeros(n, degree + 1);
    b = zeros(n, 1);
    
    % 构造矩阵A和向量b
    for i = 0:degree
        A(:, i + 1) = x.^i;
    end
    b = y.*sqrt(weights);
    
    % 解权重最小二乘问题
    coefficients = A\b;
end

该函数的输入参数为：x（自变量），y（因变量），weights（权重值），degree（多项式的次数）。其中，x和y为相同长度的列向量，weights与x和y具有相同的长度，表示每个数据点的权重。

函数首先初始化矩阵A和向量b。然后，通过循环构造矩阵A，其中每一列都是自变量x的不同次幂。向量b是经过权重调整的因变量y。之后，将A和b带入求解方程A * coefficients = b。

函数返回一个列向量coefficients，其中包含了多项式的系数。根据输入的degree值，coefficients的长度为degree + 1。这些系数可用于拟合曲线。

迭代加权最小二乘法matlab程序

迭代加权最小二乘法（Iteratively Reweighted Least Squares, IRLS）是一种常用的非线性最小二乘问题的求解方法，它通过不断迭代求解加权线性最小二乘问题来逼近非线性最小二乘问题的解。在Matlab中，可以使用以下代码实现迭代加权最小二乘法：

function [beta, w] = IRLS(X, y, w0, tol, maxiter)
% X：样本特征矩阵
% y：样本标签向量
% w0：权重向量的初始值
% tol：迭代终止条件
% maxiter：最大迭代次数

n = size(X, 2);
w = w0;
beta = zeros(n, 1);
iter = 0;

while iter < maxiter
    iter = iter + 1;
    beta_old = beta;
    
    % 计算加权系数矩阵
    W = diag(w);
    
    % 计算加权线性回归系数
    beta = (X' * W * X) \ (X' * W * y);
    
    % 计算残差向量
    r = y - X * beta;
    
    % 计算加权残差平方和
    RSS = sum(w .* r.^2);
    
    % 更新权重向量
    w = 1 ./ (r.^2 + eps);
    
    % 判断是否收敛
    if max(abs(beta - beta_old)) < tol
        break;
    end
end

以上代码中，X为样本特征矩阵，y为样本标签向量，w0为权重向量的初始值，tol为迭代终止条件，maxiter为最大迭代次数。函数返回值为最终权重向量和最终权重线性回归系数。