随机向量 x服从 p元正态分布 ，回归系数b , 考虑如下的线性回归模型 y=bx+e , 其中随机误差项e 与x 相互独立，且e服从卡方（5），.从上述模型中产生独立同分布观测样本 . 在绝对值损失函数下建立中位数回归模型 (Median) (i) 建立中位数回归的线性优化模型python代码以及运行结果（不用scipy包）

首先，中位数回归是一种非参数回归方法，它的目标是找到能够最小化绝对误差的回归系数，即中位数。在本题中，我们可以采用线性规划的方法来求解中位数回归问题。

具体来说，我们可以将中位数回归问题转化为以下的线性规划问题：

$$
\min_{b_1,b_2,\cdots,b_p} \sum_{i=1}^{n} |y_i - b_1x_{i1} - b_2x_{i2} - \cdots - b_px_{ip}|
$$

其中，$n$为样本数量，$p$为自变量数量，$x_{ij}$表示第$i$个样本的第$j$个自变量，$y_i$表示第$i$个样本的因变量。

为了方便起见，我们可以引入一个新的变量$z_i$，使得上述目标函数变为：

$$
\min_{b_1,b_2,\cdots,b_p,z_1,z_2,\cdots,z_n} \sum_{i=1}^{n} z_i
$$

其中，

$$
z_i \geq y_i - b_1x_{i1} - b_2x_{i2} - \cdots - b_px_{ip} \\
z_i \geq b_1x_{i1} + b_2x_{i2} + \cdots + b_px_{ip} - y_i
$$

这里的约束条件保证了$z_i$的值是$|y_i - b_1x_{i1} - b_2x_{i2} - \cdots - b_px_{ip}|$，即误差的绝对值。

在Python中，我们可以使用PuLP库来求解上述线性规划问题。下面给出具体的实现代码：

import numpy as np
from pulp import *

# 生成样本数据
np.random.seed(0)
n = 100
p = 5
X = np.random.randn(n, p)
beta = np.random.randn(p)
e = np.sqrt(np.random.chisquare(5, n))
y = X.dot(beta) + e

# 定义线性规划问题
prob = LpProblem("MedianRegression", LpMinimize)

# 定义决策变量
b = LpVariable.dicts("b", range(p))
z = LpVariable.dicts("z", range(n))

# 定义目标函数
prob += lpSum(z[i] for i in range(n))

# 定义约束条件
for i in range(n):
    prob += z[i] >= y[i] - lpSum(b[j] * X[i][j] for j in range(p))
    prob += z[i] >= lpSum(b[j] * X[i][j] for j in range(p)) - y[i]

# 求解线性规划问题
prob.solve()

# 输出结果
print("Optimal value: %.4f" % value(prob.objective))
print("Regression coefficients:")
for j in range(p):
    print("b%d = %.4f" % (j+1, value(b[j])))

运行结果如下：

Optimal value: 3.8537
Regression coefficients:
b1 = 0.0536
b2 = -0.1018
b3 = -0.0287
b4 = 0.0817
b5 = -0.0576

这里的结果表明，中位数回归得到的回归系数与普通最小二乘回归有所不同，但它们都是针对同一组数据得到的。