为什么 Tr(Q^TLQ) = ||LQ||_F^2

首先，我们可以将矩阵 Q 分解为 Q = QR，其中 R 是一个上三角矩阵，Q 和 R 的秩都是 L。因此，我们可以将 Tr(Q^TLQ) 重写为：

Tr(Q^TLQ) = Tr(R^TQ^T LQ R)

由于 R 是一个上三角矩阵，因此 R^T 是一个下三角矩阵。我们可以使用下面这个性质：

Tr(AB) = Tr(BA)

将上式转化为：

Tr(Q^TLQ) = Tr(Q R R^T Q^T L)

现在，我们可以使用 Frobenius 范数的定义，将 ||LQ||_F^2 转化为：

||LQ||_F^2 = Tr((LQ)^T LQ)

= Tr(Q^T L^T L Q)

= Tr(Q R R^T Q^T L L^T)

= Tr(Q^T L L^T Q R R^T)

由于迹运算的交换性，我们可以将 Tr(Q R R^T Q^T L) 重写为 Tr(Q^T L R R^T Q)。因此，我们可以将上述式子进一步转化为：

||LQ||_F^2 = Tr(Q^T L L^T Q R R^T)

= Tr(Q^T L L^T Q R R^T)

= Tr(Q^T L Q R R^T)

= Tr(Q^T L Q Q R R^T)

= Tr(Q^T L Q Q^T Q R R^T)

= Tr(Q^T L Q^T Q R R^T)

由于 Q^T Q = I，因此我们可以将上述式子进一步转化为：

||LQ||_F^2 = Tr(Q^T L Q^T Q R R^T)

= Tr(Q^T L R R^T)

= Tr(R^T Q^T LQ R)

= Tr(Q^TLQ)

因此，我们证明了 Tr(Q^TLQ) = ||LQ||_F^2。