编制数值积分的复合梯形算法、复合辛普森算法、复合科茨算法程序

编制数值积分的复合梯形算法、复合辛普森算法和复合科茨算法是一种数值求解定积分的方法，用于近似计算函数在某个区间上的积分值。下面是简单描述：

1. **复合梯形法则**（Composite Trapezoidal Rule）：将区间分割成多个小段，每个小段应用梯形公式来估算面积，然后累加起来。其公式大致为：\( \int_{a}^{b} f(x) dx ≈ \frac{h}{2} [f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b)] \)，其中 \( h \) 是每个子区间的宽度。

2. **复合辛普森法则**（Composite Simpson's Rule）：也称为三阶矩形规则，适用于光滑函数。它对奇数次多项式误差较小，偶数次项则需要合并两个梯形法。计算过程类似，但每个子区间会使用更精确的3点插值。公式为：\( \int_{a}^{b} f(x) dx ≈ \frac{h}{6}[f(a) + 4\sum_{i=1}^{n/2-1} f(2x_i) + f(b)] \) 对于偶数区间长度。

3. **复合科茨法则**（Composite Kochanowski Method），这是一种改进版的复合辛普森法则，结合了辛普森和梯形法则的优点。它的步骤通常包括选择合适的节点分布（如等间距或高斯节点）并采用适当权重进行计算。

编写这样的程序，通常涉及以下步骤：
- 定义函数f(x)
- 根据选择的算法划分区间，并计算子区间长度
- 计算每个子区间对应的积分贡献
- 累加所有子区间的积分
- 返回总积分估计

def composite_rule(f, a, b, n, rule='trapezoidal'):
    # 代码省略
    pass

# 示例：
# 函数f(x) = x^2
# 区间[0, 1]
# 使用梯形法则计算，间隔为1/n
integral_approximation = composite_rule(lambda x: x**2, 0, 1, 10, 'trapezoidal')