二连杆雅克比矩阵求解

二连杆雅可比矩阵（Two-link Jacobian）是在机械工程，特别是在机器人学中用来描述两个串联关节系统（例如两个直杆连接）末端执行器速度与关节速度之间关系的重要工具。它是雅可比矩阵的一个特例，雅可比矩阵本身用于描述多个链接系统中各关节对全局位置影响。

对于二连杆系统，假设第一关节是θ1，第二关节是θ2，末端执行器的位置可以用这两个关节的角度来近似。雅可比矩阵的计算步骤如下：

1. **定义基础坐标系**：通常选择第一个关节的原点作为坐标系O，然后沿着各个杆的方向定义X1、Y1和Z1轴。

2. **确定末端执行器位置**：根据两杆长度L1和L2，计算第二个关节处末端点P2的位置，并进一步计算末端执行器P的位置。

3. **偏导数计算**：分别计算末端执行器位置相对于关节角度θ1和θ2的偏导数，形成行向量。每一列代表末端执行器对应一个关节的速度影响。

4. **构造雅可比矩阵**：将两个偏导数组成矩阵，即\( J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \theta_1} & \frac{\partial y}{\partial \theta_1} \\ \frac{\partial x}{\∂ \theta_2} & \frac{\partial y}{\∂ \theta_2} \end{bmatrix}\)，其中(x, y)是末端执行器在笛卡尔空间的坐标。

二连杆雅可比矩阵的主要用途包括控制设计、动力学分析以及轨迹规划等，因为它能帮助转化关节驱动命令为末端执行器的运动。

**相关问题**:
1. 二连杆雅可比矩阵如何应用于反向运动学？
2. 在路径跟踪任务中，雅可比矩阵的作用是什么？
3. 如何处理非刚体连杆系统的情况下的雅可比矩阵计算？