设计算法使$n×n$矩阵，通过行变换使得每行元素的平均值按递增顺序排列。

可以使用贪心算法来解决这个问题。首先，对于每一行，我们可以计算出它们元素的平均值。然后，我们按照这些平均值的递增顺序对行进行排序。接下来，我们进行行变换，使得每行的平均值按照排序后的顺序排列。

具体地，我们可以从第一行开始，对于每一行，将它与剩下的行中平均值最小的行交换位置。这样，每个新的行都会比前面的行平均值更大，直到所有的行按照平均值递增排列。这个算法的时间复杂度为$O(n^2\log n)$，其中$n$是矩阵的大小，主要来自于排序的时间复杂度。

下面是一个Python实现：

def sort_rows(matrix):
    n = len(matrix)
    row_avg = [(i, sum(matrix[i])/n) for i in range(n)]
    row_avg.sort(key=lambda x: x[1])
    for i in range(n):
        while row_avg[i][0] != i:
            j = row_avg[i][0]
            row_avg[i], row_avg[j] = row_avg[j], row_avg[i]
            matrix[i], matrix[j] = matrix[j], matrix[i]
    return matrix

其中，我们首先计算出每一行的平均值，然后按照平均值排序，并根据排序结果进行行变换。